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Tschebyscheff-Polynom: Aufgabe
Status: (Question) answered Status 
Date: 20:25 Sa 19/01/2019
Author: Belserich

Aufgabe
Die Funktion $f(x) = [mm] e^{-x^2}$ [/mm] soll auf dem Intervall $I = [-2, 2]$ durch ein Polynom 4. Grades interpoliert werden.

a) Geben Sie die Tschebyscheff-Stützpunkte und das zugehörige Interpolationspolynom an

b) Ermitteln Sie das Interpolationspolynom zu fünf äquidistanten Stützstellen [mm] ($x_0 [/mm] = -2$ und [mm] $x_4 [/mm] = 2$) in $I$.

c) Stellen Sie die beiden Interpolationspolynome zusammen mit f in einem Diagramm
dar und ermitteln Sie näherungsweise (graphisch) die maximale Abweichung der
Interpolationspolynome von f.

Liebes Forum,

Aufgabe 2 habe ich bereits mit Newton-Interpolation gelöst. Meine Probleme beziehen sich eher auf Aufgabe a).

Wir haben in der Vorlesung folgende Formel für die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms behandelt: [mm] $x^{(n)}_j [/mm] = [mm] cos\left (\frac{(2j + 1) \cdot \Pi}{2n} \right [/mm] ) $ mit $j = 0, [mm] \hdots, [/mm] n-1$

Leider kann ich nicht genau sagen, welchem Zweck hier das hochgestellte $(n)$ dient. In voherigen Abschnitten, haben wir die Notation eines geklammerten Exponenten genutzt um die $n$-te Ableitung der Funktion darzustellen, wobei ich hier bezweifle, dass es Sinn macht. Ich schätze eher, das hochgestellte $(n)$ dient hier dem Vermerk von $n$ generell.

Desweiteren kennen wir die Formel fürs Tschebyscheff-Polynom im Intervall $[-1; 1]$ (Begrenzung durch Definitionsbereich des $arccos$, schätze ich). Diese sieht folgendermaßen aus: [mm] $T_n(x) [/mm] = cos(n [mm] \cdot arccos\left (x)\right [/mm] )$ (ich habe in meiner bisherigen Versuchsreihe auch mal auf Wikipedia geschaut und gesehen, dass es auch jeweils Polynome gibt für den Fall $x [mm] \not \in [/mm] [-1; 1]$, diese sind aber nicht durch die Vorlesung gegeben und dürfen deshalb auch nicht verwendet werden).

Ich gehe hier davon aus, dass die NST die zu berechnenden Stützpunkte sind (kann das jemand verifizieren?). Leider bin ich aus mehreren Gründen nun sehr verwirrt.

1. Setze ich $i$ $(=0, [mm] \hdots, [/mm] 3)$ und $n$ $(=4)$ in die Formel ein bekomme ich für alle [mm] $x_i$ [/mm] einen Wert von ungefähr $1$ (genauer ca. $0.999$) heraus. Wenn ich diesen Wert nun in die Formel fürs Polynom einsetze bekomme ich immer einen Wert knapp um [mm] $T_n(x_j) [/mm] = 1$ herum. Wie kann das sein? Die [mm] $x_j$ [/mm] sollten doch NST sein? Desweiteren habe ich keine Idee, wie ich das Intervall von $[-1; 1]$ auf $[-2; 2]$ vergrößere.

Ich hatte zwischenzeitlich die Idee, $x$ in der Formel fürs Polynom durch $2$ zu teilen um überhaupt den Definitionsbereich $I$ zu ermöglichen, leider geht der Graph des Polynoms dann nicht durch die selben Stützpunkte, wie der von $f(x)$. Nach genauerer Betrachtung ist mir ebenfalls klar geworden: Wie soll er auch? Weder in der Berechnung der NST, noch in der des Interpolationspolynoms [mm] $T_n$ [/mm] werden Informationen die funktionsspezifisch sind genutzt. Hier werden lediglich $n$ und $i$ verwendet, jedoch sind ja dann auch die NST bzw. das Polynom für verschieden Funktionen des selben Grades gleich. Das erklärt zwar, wieso meine Funktion [mm] $T_n$ [/mm] nicht durch die gleichen Stützpunkte läuft aber es wirft auch weitere Fragen auf. Zusammengefasst lauten diese:
  • Was ist der Sinn dahinter ein Intervall anzugeben, wenn ich eh keinen Einfluss auf dieses habe?
  • Welchem Zweck dient das Tschebyscheff-Polynom? (Meine Annahme ist, dass dieses lediglich eine Art schnelle Methode ist möglichst viele Polynome $n$-ten Grades überhaupt annähernd zu approximieren, was aber auch komplett falsch sein kann)
  • Kann es sein, das sich das Intervall lediglich auf die Aufgabe b) bezieht?
  • Sind die NST die gesuchten Stützpunkte?
  • Wie gehe ich an die Lösung der Aufgabe nun heran (setze ich einfach stumpf in die Formeln ein oder muss ich eine Art Spezialfall beachten etc.)?
  • Um welche Erkenntnis handelt es sich bei Aufgabe c? (Tipps reichen mir schon)

Freue ich über jeden Beitrag. Ich hoffe ich habe mein Problem klar genug eingegrenzt.

Danke fürs lesen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Tschebyscheff-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 21:49 Sa 19/01/2019
Author: chrisno

Hallo,

ich baue auf meine Erinnerung aus dem Studium (vor so 30 Jahren) und Wikipedia.
Ich hoffe, dass noch jemand besser antwortet, doch versuche ich schon mal die etwas weiter zu helfen.

"Geben Sie die Tschebyscheff-Stützpunkte und das zugehörige Interpolationspolynom an"
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation:
"Tschebyschow hat gezeigt, dass die Nullstellen der Tschebyschow-Polynome („Tschebyschow-Punkte“) optimale Stützstellen sind."
Mit optimal ist gemeint, dass die Aweichung des Polynoms von der zu aprocimierenden in der Maximumsnorm minimal wird. Flapsig formuliert: um die Funktion wird ein Schlauch konstanter Dicke gelegt, in den auch das Polynom passt. Ziel ist es, diesen Schlauch möglichst eng zu machen.

Ich denke, es ist am einfachsten, die gegebene Funktion zu ändern. Wenn in der Funktion anstelle von x 2x steht, dann bekommst Du im Intervall von -1 bis 1 die entsprechenden Werte der Ausgangsfunktion im Intervall von -2 bis 2. Dann brauchst Du an den anderen Formeln nichts zu ändern.

Du sollst nun auf diesem Intervall das zwei Variabten für das Interpolationspolynom berechnen:
- mit den Tschebyschef Stützpunkten
- mit den äquidistanten Stützpunnkten (die musst du natürlich auch auf -1 bis 1 transformieren.
Herauskommen sollte, dass die Aproximaiton mit den Tschebyscheff Stützpunkten besser ist.

Bei der konkreten Durchführung kann ich Dir nicht helfen.

Zu den Nullstellen:
$ [mm] x^{(n)}_j [/mm] = [mm] cos\left (\frac{(2j + 1) \cdot \Pi}{2n} \right [/mm] ) $ mit $ j = 0, [mm] \hdots, [/mm] n-1 $
das n ist das n des Tschebyscheff Polynoms.

"Setze ich $ i $ $ (=0, [mm] \hdots, [/mm] 3) $ und $ n $ $ (=4) $ in die Formel ein bekomme ich für alle $ [mm] x_i [/mm] $ einen Wert von ungefähr $ 1 $ (genauer ca. $ 0.999 $) heraus. Wenn ich diesen Wert nun in die Formel fürs Polynom einsetze bekomme ich immer einen Wert knapp um $ [mm] T_n(x_j) [/mm] = 1 $ herum. Wie kann das sein?"

Stell den Taschenrechner auf Bogenmaß um.

Bezug
                
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Tschebyscheff-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:02 So 20/01/2019
Author: Belserich

Vielen Dank für deinen Beitrag chrisno!

das hat mir schon enorm weitergeholfen. Dieser "dumme" Fehler, vergessen zu haben meinen Taschenrechner umzustellen, hat mich echt geärgert. Das gehört in die Kategorie "Hätte man mit genug Engagement auch selbst herausfinden können". Schade.

Was ich noch nicht ganz verstehe ist, weshalb du schreibst ich soll $2x$ statt $x$ in die Formel einsetzen. Wir reden doch von [mm] $T_n(x) [/mm] = cos(n [mm] \cdot [/mm] arccos(2x))$, oder? Denn meiner Auffassung nach müsste man [mm] $\frac{2}{x}$ [/mm] rechnen, denn man schränkt doch über die Bildung des $arccos$, der ja nur auf $[-1, 1]$ definiert ist mit $2x$ seinen Definitionsbereich noch weiter ein (auf $[-0.5, 0.5]$).

Bezug
                        
Bezug
Tschebyscheff-Polynom: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:35 So 20/01/2019
Author: fred97


> Vielen Dank für deinen Beitrag chrisno!
>  
> das hat mir schon enorm weitergeholfen. Dieser "dumme"
> Fehler, vergessen zu haben meinen Taschenrechner
> umzustellen, hat mich echt geärgert. Das gehört in die
> Kategorie "Hätte man mit genug Engagement auch selbst
> herausfinden können". Schade.
>  
> Was ich noch nicht ganz verstehe ist, weshalb du schreibst
> ich soll [mm]2x[/mm] statt [mm]x[/mm] in die Formel einsetzen. Wir reden doch
> von [mm]T_n(x) = cos(n \cdot arccos(2x))[/mm], oder? Denn meiner
> Auffassung nach müsste man [mm]\frac{2}{x}[/mm] rechnen, denn man
> schränkt doch über die Bildung des [mm]arccos[/mm], der ja nur auf
> [mm][-1, 1][/mm] definiert ist mit [mm]2x[/mm] seinen Definitionsbereich noch
> weiter ein (auf [mm][-0.5, 0.5][/mm]).  


Durchläuft  x das Intervall  [-1,1], so durchläuft  2x das  Intervall  [-2,2].

Bezug
                                
Bezug
Tschebyscheff-Polynom: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:48 So 20/01/2019
Author: Belserich

Das ist richtig, aber wenn ich $2x$ in die Gleichung einsetze verkleinert sich mein Intervall automatisch auf $[0.5, -0.5]$, denn für Werte $x$ außerhalb dieses Intervalls lieg $2x$ auch außerhalb von $[1, -1]$ und damit ist die Lösung für ebendiese Argumente undefiniert.

Bezug
                                        
Bezug
Tschebyscheff-Polynom: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:40 So 20/01/2019
Author: chrisno

$ f(x) = [mm] e^{-(2x)^2} [/mm] $ meine ich. dann läuft der Rest im üblichen Intervall ab.

Bezug
                
Bezug
Tschebyscheff-Polynom: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:44 So 20/01/2019
Author: Belserich

Ahh okay. Vielen Dank! ich werde mich sofort an die Lösung setzen.

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