matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenWahrscheinlichkeitstheorieTschebyscheff-Ungleichung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Tschebyscheff-Ungleichung
Tschebyscheff-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Tschebyscheff-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Sa 05.07.2014
Autor: Trikolon

Ich habe keine konkrete Aufgabenstellung, sondern die folgende Frage:
Die Tschebyscheff-Markov-Ungleichung gilt ja auch für den Falls stetiger Zufallsvariablen. Für den diskreten Fall kenne ich auch den Beweis. Für den stetigen Fall wurde uns aber kein Beweis gezeigt, deshalb meine Frage:
Wie beweist man Tschebyscheff-Markov im stetigen Fall?

        
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Sa 05.07.2014
Autor: Teufel

Hi!

Wir beweisen zunächst die Markov-Ungleichung, weil Tschebyscheff daraus direkt folgt. [mm] $P(X\ge a)\le \frac{E(X)}{a}$ [/mm] für $a>0$.
Es gilt

[mm] $P(X\ge a)=\integral_{}^{}{1_{X\ge a} dP}\le\integral_{}^{}{1_{X\ge a}\frac{X}{a} dP}\le\frac{1}{a}\integral_{}^{}{X dP}=\frac{E(X)}{a}$ [/mm]

Kommst du damit zurecht?

Bezug
                
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:34 Sa 05.07.2014
Autor: Trikolon

Vielen Danke schonmal für die Antwort!

Ich gehe jetzt mal von folgender Notation aus:

zu zeigen ist zunächst die Markow-Ungleichung:
P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) [mm] \le \bruch{E(|X|^r)}{ \epsilon^2}. [/mm] Wie daraus Tschebyscheff folgt, verstehe ich.

P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\I1_{|X| \ge \epsilon} dx} [/mm]

Und im diskreten Fall käme dann ja noch hinter die Indikatorfunktion P( { [mm] \omega} [/mm] ), das ist dann auch den Schritt den ich bei dir nicht verstehe...

Bezug
                        
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Mo 07.07.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> zu zeigen ist zunächst die Markow-Ungleichung:
>  $P({|X| [mm] \ge \epsilon}) \le \bruch{E(|X|^r)}{ \epsilon^2}$ [/mm]

Das ist nicht die Markow-Ungleichung, und die Ungleichung ist im Allgemeinen sogar falsch. Im Nenner sollte wohl ein [mm] \epsilon^r [/mm] stehen, damit es stimmt. Und selbst dann ist es nur ein Speziallfall der Markow-Ungleichung.

> $P({|X| [mm] \ge \epsilon}) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\I1_{|X| \ge \epsilon} dx}$ [/mm]

Die Gleichung ist im Allgemeinen schon falsch.
Es gilt erstmal:

$P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \int_\Omega 1_{|X| \ge \epsilon} [/mm] dP$

Für den nächsten Schritt mache dir nun klar: Was gilt denn auf der Menge [mm] $\{|X| \ge \epsilon\} [/mm] für [mm] $\bruch{|X|^r}{\epsilon^r}$? [/mm]

Gruß,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 Mo 07.07.2014
Autor: Trikolon

Naja, auf dieser Menge ist dann  [mm] \bruch{|X|^r}{\epsilon^r} [/mm] > 1

Meine Frage wäre noch, was ist hier bei dieser Gleichung:  P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \int_\Omega 1_{|X| \ge \epsilon} [/mm] dP  am Ende mit P gemeint?

Bezug
                                        
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Mo 07.07.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Naja, auf dieser Menge ist dann  [mm]\bruch{|X|^r}{\epsilon^r}[/mm]  > 1

Na fast.  [mm]\bruch{|X|^r}{\epsilon^r} \ge 1[/mm]

> Meine Frage wäre noch, was ist hier bei dieser Gleichung:  
> $P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \int_\Omega 1_{|X| \ge \epsilon} [/mm] dP $ am Ende mit P gemeint?

Das Maß auf [mm] $\Omega$, [/mm] nach dem integriert wird.
Wie habt ihr denn den Erwartungswert für stetige ZV definiert?

Gruß,
Gono.

Bezug
                                                
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 Mo 07.07.2014
Autor: Trikolon

Die Definition ist wie folgt:
E(g(X))= [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} [/mm] .... [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{g(x_1, ..., x_n) f(x_1,..., x_n) dx_1,...,dx_n} [/mm]
Für eine reelle Zva (wie hier):
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{xf(x) dx} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Mo 07.07.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ja und was soll f(x) sein, das kommt auf der linken Seite ja gar nicht vor?
(Nur um das klarzustellen: Ich weiß es, du auch?)

Gruß,
Gono.

Bezug
                                                                
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:37 Mo 07.07.2014
Autor: Trikolon

Ich denke schon. f ist die Dichte der Zufallsvariable X.

Bezug
                                                                        
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:48 Di 08.07.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich denke schon. f ist die Dichte der Zufallsvariable X.

[ok]
Und wo ist die dann bei deinem ersten Versuch das umzuformen?
Und was machen wir mit ZV, die gar keine Dichte haben?

Um dich nicht zu verwirren: Die Fragen haben alle gar keinen Sinn, behandelt ihr bspw. nur ZV mit Dichte, kann es sein, dass ihr die dP-Integrale gar nicht hattet. Sollte das so sein, beweisen wir die Ungleichung etwas anders :-)

Gruß,
Gono.


Bezug
                                                                                
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:58 Di 08.07.2014
Autor: Trikolon

Nein, dP Integrale hatten wir nicht. Deshlab wäre es nett du wuerdest mir einen anderen beweis zeigen.

Bezug
        
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:26 Di 08.07.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also nachdem ja nun geklärt wurde, dass es auf dem bereits gezeigten Weg nicht funktioniert, da ihr das nicht hattet, mal auf eurem Weg, der aber interessanterweise genauso geht ;-)

Also fang doch mal an:

edit: An der Stelle hab ich dann festgestellt, dass es sogar gänzlich ohne Integralschreibweise geht.

$P(|X| [mm] \ge \varepsilon) [/mm] = [mm] E\left[1_{\{|X| \ge \varepsilon\}}\right] [/mm] = [mm] E\left[1_{\{|X| \ge \varepsilon\}}*1\right]$ [/mm]

Jetzt mach dir mal klar, was wir besprochen hatten, was auf der Menge [mm] $\{|X| \ge \varepsilon\}$ [/mm] gilt und dass trivialerweise gilt:

[mm] $1_{\{|X| \ge \varepsilon\}}*\bruch{|X|^r}{\varepsilon^r} \ge [/mm] 0$

Das reicht um die Aussage zu zeigen :-)

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Di 08.07.2014
Autor: Trikolon

Ich hatte mir auch nochmal Gedanken gemacht und bin zu folgendem Beweis gekommen:

P({|X| [mm] \ge \epsilon [/mm] }) = [mm] \integral_{y: |y|\ge \epsilon}{f(y) dy} [/mm] = [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{ \I1_{|y|\ge \epsilon} f(y) dy} \le \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{|y^r|}{\epsilon^r} f(y) dy} [/mm] = [mm] \bruch{E(|x|^r)}{\epsilon^r} [/mm]

Was meinst du dazu? Es ist doch im  Prinzip dasselbe wie bei dem Vorgehen, oder?

Ich war mir nicht sicher, ob ich in der Rechnung weiterhin die Variable x verwenden darf?

Bezug
                        
Bezug
Tschebyscheff-Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Di 08.07.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Was meinst du dazu? Es ist doch im  Prinzip dasselbe wie  bei dem Vorgehen, oder?

Ja. Begründe mir deine Abschätzung aber mal ein bisschen genauer :-)
Erstmal steht da ja nur:

[mm]\integral_{- \infty}^{\infty}{ \I1_{|y|\ge \epsilon} f(y) dy} = \integral_{- \infty}^{\infty}{ \I1_{|y|\ge \epsilon}*1 f(y) dy} \le \integral_{-\infty}^{\infty}{ \I1_{|y|\ge \epsilon}{\bruch{|y^r|}{\epsilon^r} f(y) dy}[/mm]

Mit weiteren Abschätzungen kommt man schon zu dem von dir gewünschten Integral, aber die würde ich von dir gern noch begründet haben :-)

> Ich war mir nicht sicher, ob ich in der Rechnung weiterhin die Variable x

verwenden darf?

Ja, ein kleines x wäre ok. y geht aber genauso gut, wenn dir das lieber ist.
Wichtig: In deinem Erwartungswert am Ende muss die ZV X stehen und kein kleines x!

Gruß,
Gono.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]