Tschebyscheff Polynome < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | c) die Tschebyscheff-Polynome 1. Art sind rekursiv definiert durch:
[mm] T_0(x)=1, T_1(x)=x, T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}. [/mm] Zeigen sie: [mm] T_n(cos\alpha)=cos(n\alpha)
[/mm]
d) Definiere: F: [mm] \IR[x] \to \IR[x] [/mm] durch:
F(f(x)) := [mm] (1-x^2)f''(x)-2xf'(x)
[/mm]
Zeigen sie: [mm] T_n [/mm] ist EV zum EW [mm] \lambda_n=n^2 [/mm] |
hallo zusammen!
aufgabe c ist noch easy mode.
aber aufgabe d will sich mir einfach nicht erschließen. es fängt damit an, dass ich überhaupt nicht weiß, was genau da steht (so blöd das auch klingt ^^)
mittlerweile bin ich so weit, dass ich annehme, f(x) sei ein beliebiges polynom. sonst würd das ja [mm] \IR[x] \to \IR[x] [/mm] widersprechen
aber was genau ist jetzt noch der EV?
soll das heißen [mm] F(f(T_n)) [/mm] = [mm] n^2T_n [/mm] oder [mm] F(f(T_n) [/mm] = [mm] n^2f(T_n)? [/mm] ersteres erscheint mir sinnvoller, weicht aber viel weiter vom ziel ab, als die zweite variante :(
dabei bin ich so vorgegangen:
f(x) = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_ix^i
[/mm]
dabei kann man dann auch einfach f(x) = [mm] a_kx^k [/mm] betrachten, da das ganze summandenweise passen muss
damit kann man die ableitungen bilden f'(x) = [mm] ka_kx^{k-1} [/mm] und f''(x) = [mm] k(k-1)a_kx^{k-2}
[/mm]
das eingesetzt führt zu [mm] F(f(T_n)) [/mm] = [mm] (1-T_n^2)k(k-1)a_kT_n^{k-2} [/mm] - [mm] 2T_nka_kT_n^{k-1} [/mm] und das soll gleich [mm] n^2T_n [/mm] sein? (oder [mm] n^2f(T_n) [/mm] falls das richtig ist...)
beides führt bei mir nicht zum gewünschten ergebnis :(
(im weiteren verlauf dann versucht mit induktion zu zeigen)
wo liegt mein fehler oder überseh ich einfach nur irgendwas wichtiges?
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> c) die Tschebyscheff-Polynome 1. Art sind rekursiv
> definiert durch:
> [mm]T_0(x)=1, T_1(x)=x, T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}.[/mm] Zeigen
> sie: [mm]T_n(cos\alpha)=cos(n\alpha)[/mm]
>
> d) Definiere: F: [mm]\IR[x] \to \IR[x][/mm] durch:
> F(f(x)) := [mm](1-x^2)f''(x)-2xf'(x)[/mm]
> Zeigen sie: [mm]T_n[/mm] ist EV zum EW [mm]\lambda_n=n^2[/mm]
> hallo zusammen!
> mittlerweile bin ich so weit, dass ich annehme, f(x) sei
> ein beliebiges polynom. sonst würd das ja [mm]\IR[x] \to \IR[x][/mm]
> widersprechen
Hallo,
ja, genau.
In d) hast Du eine Abbildung F, welche Polynome auf Polynome abbildet.
Sie tut dies in der in der Funktionsvorschrift angegebenen Art und Weise.
> aber was genau ist jetzt noch der EV?
Unsere Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind hier Polynome, und ein Eigenvektor ist ein solches Polynom, welches vermöge F auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet wird.
Hier wird nun behauptet, daß für jedes n das Polynom [mm] T_n [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert [mm] n^2 [/mm] ist.
Zu zeigen ist hierfür: [mm] F(T_n)=(1-x^2)T_n''-2xT_n'=n^2T_n.
[/mm]
Allerdings keimt mir ein gar grausiger Verdacht: die Aussage stimmt nicht.
Dieser bestätigt sich, wenn ich es einfach mal mit [mm] T_1(x)=x [/mm] ausprobiere:
[mm] F(T_1(x))=(1-x^2)*0-2x*1= [/mm] -2x.
Also ist [mm] T_1(x) [/mm] Eigenvektor zum Eigenwert -2.
Ich probier's nochmal mit [mm] T_2(x)=2x^2-1:
[/mm]
[mm] F(T_2(x))=(1-x^2)*4-2x*4x= 4-12x^2. [/mm] Aus der Traum vom Eigenvektor [mm] T_2 [/mm] ...
Vielleicht sollte die Funktion eigentlich eher heißen
[mm] T(f(x))=(1-x^2)f''(x) [/mm] - xf'(x), und die Behauptung, daß [mm] T_n(x) [/mm] Eigenvektor zu [mm] -n^2 [/mm] ist... (?)
Ein kleine Nachfrage bei den Chefs wäre nicht von Nachteil, und Kommilitonen, die vielleicht schon dabei sind, graue Haare zu bekommen, werden es Dir danken...
(Wenn dann vielleicht die zu beweisende Aussage von Amts wegen geklärt wurde, wäre es evtl. ganz gut, wenn Du die anderen Aufgabenteile mal mitposten würdest. Vielleicht kann man manches verwenden, was man ich ansonsten dem Dämmer der Gehirnnebel entreißen, nachlesen oder gar neu erfinden müßte.)
Gruß v. Angela
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daran hab ich zuerst auch gedacht
aber auch da ist gescheitert: was is die ableitung vn [mm] T_n? [/mm] das würd ich nebenbei auch gern wissen, kann nich schaden zu wissen wie man sowas berechnet :)
die nachfrage zu der aufgabe mach ich nachher :)
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> daran hab ich zuerst auch gedacht
Woran?
> aber auch da ist gescheitert: was is die ableitung vn [mm]T_n?[/mm]
Hallo,
für die Ableitung von [mm] T_n [/mm] gibt's einerseits eine Rekursionsformel:
[mm] T_n'=\bruch{n}{1-x^2}(xT_n [/mm] - [mm] T_{n+1}) =\bruch{n}{1-x^2}(-xT_n [/mm] - [mm] T_{n-1}) [/mm] ,
Du kannst aber auch [mm] T_n(cos\alpha)=cos(n\alpha) [/mm] verwenden:
es ist also [mm] T_n(x)= [/mm] cos(n*arccos(x)), und auf dieser Schiene kommst Du auch an die Ableitung(en).
Gruß v. Angela
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> > daran hab ich zuerst auch gedacht
>
> Woran?
f(x) = [mm] T_n [/mm] zu setzen...
nirgendwo steht dass man das machen soll. man könnte ja auch x = [mm] T_n [/mm] setzen
>
> > aber auch da ist gescheitert: was is die ableitung vn [mm]T_n?[/mm]
>
> Hallo,
>
> für die Ableitung von [mm]T_n[/mm] gibt's einerseits eine
> Rekursionsformel:
> [mm]T_n'=\bruch{n}{1-x^2}(xT_n[/mm] - [mm]T_{n+1}) =\bruch{n}{1-x^2}(-xT_n[/mm]
> - [mm]T_{n-1})[/mm] ,
wie kommst du darauf?
>
> Du kannst aber auch [mm]T_n(cos\alpha)=cos(n\alpha)[/mm] verwenden:
> es ist also [mm]T_n(x)=[/mm] cos(n*arccos(x)), und auf dieser
> Schiene kommst Du auch an die Ableitung(en).
da schränkt man aber x ein oder? da muss dann ja x [mm] \in [/mm] [-1,1]
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> > > daran hab ich zuerst auch gedacht
> >
> > Woran?
>
> f(x) = [mm]T_n[/mm] zu setzen...
> nirgendwo steht dass man das machen soll. man könnte ja
> auch x = [mm]T_n[/mm] setzen
Hallo,
in Deiner Aufgabe stand ja
[mm] F:\IR[x]\to \IR[x].
[/mm]
Das bedeutet, daß man F auf Polynome anwendet.
Vielleicht wäre die Vorschrift
T(f):= [mm] (1-x^2)f'' [/mm] - xf'
etwas deutlicher gewesen.
Na gut, bei Dir stand jedenfalls T(f(x))= ...
und f(x) ist eben das Element aus [mm] \IR[x], [/mm] welches man einsetzen soll.
Konsequenterweise hätte dann dastehen sollen: [mm] T_n(x) [/mm] ist Eigenvektor.
> >
> > > aber auch da ist gescheitert: was is die ableitung vn [mm]T_n?[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > für die Ableitung von [mm]T_n[/mm] gibt's einerseits eine
> > Rekursionsformel:
> > [mm]T_n'=\bruch{n}{1-x^2}(xT_n[/mm] - [mm]T_{n+1}) =\bruch{n}{1-x^2}(-xT_n[/mm] - [mm]T_{n-1})[/mm] ,
>
> wie kommst du darauf?
Ich hab' das mal in einer Hausübung gezeigt, mich grob daran erinnert, nachgeschlagen und abgeschrieben.
>
> >
> > Du kannst aber auch [mm]T_n(cos\alpha)=cos(n\alpha)[/mm] verwenden:
> > es ist also [mm]T_n(x)=[/mm] cos(n*arccos(x)), und auf dieser
> > Schiene kommst Du auch an die Ableitung(en).
>
> da schränkt man aber x ein oder? da muss dann ja x [mm]\in[/mm]
> [-1,1]
Ja, natürlich!
(Man interessiert sich meist auch nur für die Tschebyscheffpolynome über [-1,1], dann alles Interessante spielt sich hier ab.)
Gruß v. Angela
P.S.: ich wüßte gern noch die anderen Aufgabenteile. Es interessiert mich der Gesamtzusammenhang.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:31 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Faithless |
| Aufgabe | [mm] R_\alpha [/mm] := [mm] \pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }
[/mm]
a) Zeigen sie: Für k [mm] \in \IZ [/mm] ist [mm] R_{k\alpha} [/mm] = [mm] R_\alpha^k
[/mm]
b) Bestimmen sie [mm] P_{R_\alpha}(\lambda) [/mm] und verifizieren sie: [mm] P_{R_\alpha}(R_\alpha) [/mm] = 0 |
das sind die anderen aufgabenteile.
es haben aber noch andere behauptet die aufgabe wäre nicht zu lösen.... entweder haben wir alle was übersehen oder is wirklich so...
> > >
> > > > aber auch da ist gescheitert: was is die ableitung vn [mm]T_n?[/mm]
> > >
> > > Hallo,
> > >
> > > für die Ableitung von [mm]T_n[/mm] gibt's einerseits eine
> > > Rekursionsformel:
> > > [mm]T_n'=\bruch{n}{1-x^2}(xT_n[/mm] - [mm]T_{n+1}) =\bruch{n}{1-x^2}(-xT_n[/mm]
> - [mm]T_{n-1})[/mm] ,
> >
> > wie kommst du darauf?
>
> Ich hab' das mal in einer Hausübung gezeigt, mich grob
> daran erinnert, nachgeschlagen und abgeschrieben.
trotzdem interessiert mich das noch...
steht da zufällig auch bei wie genau du das raus kriegst? wieder so ein punkt an dem ich verzweifel ^^
oder geht das nur über die cos(n arccosx) geschichte?
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> [mm]R_\alpha[/mm] := [mm]\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }[/mm]
>
> a) Zeigen sie: Für k [mm]\in \IZ[/mm] ist [mm]R_{k\alpha}[/mm] = [mm]R_\alpha^k[/mm]
> b) Bestimmen sie [mm]P_{R_\alpha}(\lambda)[/mm] und verifizieren
> sie: [mm]P_{R_\alpha}(R_\alpha)[/mm] = 0
> das sind die anderen aufgabenteile.
> es haben aber noch andere behauptet die aufgabe wäre
> nicht zu lösen.... entweder haben wir alle was übersehen
> oder is wirklich so...
Hallo,
es ist so - ich hatte doch vorgerechnet, daß es nicht stimmt.
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>
> > > >
> > > > > aber auch da ist gescheitert: was is die ableitung vn [mm]T_n?[/mm]
> > > >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > für die Ableitung von [mm]T_n[/mm] gibt's einerseits eine
> > > > Rekursionsformel:
> > > > [mm]T_n'=\bruch{n}{1-x^2}(xT_n[/mm] - [mm]T_{n+1}) =\bruch{n}{1-x^2}(-xT_n[/mm]
> > - [mm]T_{n-1})[/mm] ,
> steht da zufällig auch bei wie genau du das raus kriegst?
Nein.
Ich habe heute abend keine Lust mehr dazu, aber ich würde es erstmal mit Induktion versuchen.
Was hast Du denn probiert?
Gruß v. Angela
>
> oder geht das nur über die cos(n arccosx) geschichte?
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