Tschebyscheff Polynome < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:49 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für x [mm] \in \IR: T_n(x) [/mm] = [mm] U_n(x) -xU_{n-1}(x) [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] |
Hallo zusammen,
also, für die x zwischen -1 und 1 folgt die Behauptung zwanglos aus der trigonometrischen Darstellung der Tschbyscheff Polynome 1. Art (hier mit T bezeichnet) und 2. Art (hier mit U bezeichnet, ich glaube, beide Bezeichnungen sind üblich...)
Aber ich soll das für ganz [mm] \IR [/mm] zeigen!?! Meines Wissens gibt es für die Tschebyscheff-Polynome 2. Art keine trigonometrische Darstellung auf ganz [mm] \IR, [/mm] aber wird es so nicht gehen. Ich habe mich an allen möglichen Induktionsbeweisen versucht, bin aber zu nichts gekommen. Auch habe ich gefunden, daß es noch andere geschlossene Darstellungen der Tschbyscheff-Polynome gibt, die sind aber nicht in meiner Vorlesung erwähnt und ich denke, daß ich die nicht benutzen darf.
Also meine Frage: gibt es einen schönen Induktionsbeweis für die Behauptung oder habe ich vielleicht noch andere Möglichkeiten?
Danke im voraus, Limaros
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Also ein Blick auf Wikipedia gibt mir für [mm]T_n[/mm] die Rekursion [mm]T_0=1, T_1=x[/mm] und [mm]T_{n+1}=2xT_n-T_{n-1}[/mm] für [mm]n\ge 1[/mm] sowie für [mm]U_n[/mm] die Rekursion [mm]U_0=1[/mm], [mm]U_1=2x[/mm] und [mm]U_{n+1}=2xU_n-U_{n-1}[/mm]. Mit vollständiger Induktion folgt nun unmittelbar die Behauptung. Beachte dass du den Induktionsanfang für [mm]n=1[/mm] und [mm]n=2[/mm] prüfen musst.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:42 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Limaros |
Hallo!
Ja, danke, irgendwie sehe ich's jetzt auch, aber vorher nicht. Außerdem denke ich nach eine kurzen Spaziergang, daß der Fall x zwischen -1 und 1 völlig reicht, denn auf beiden Seiten des Behauptung stehen Polynome vom Grad n, also reicht es, daß sie in n+1 Punkten übereinstimmen, damit sie identisch sich und n+1 paarweise disjunkte Punkte lassen sich wohl finden zwischen -1 und 1.
Danke für die Hilfe, Gruß Limaros
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:28 Fr 08.04.2011 | | Autor: | pelzig |
> [...] Außerdem denke ich nach eine kurzen Spaziergang,
> daß der Fall x zwischen -1 und 1 völlig reicht, denn auf
> beiden Seiten des Behauptung stehen Polynome vom Grad n,
> also reicht es, daß sie in n+1 Punkten übereinstimmen,
> damit sie identisch sich und n+1 paarweise disjunkte Punkte
> lassen sich wohl finden zwischen -1 und 1.
Sehr richtig.
Gruß, Robert
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