Tschebyscheff Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Tag
Ich habe eine Frage zu einer Anwendung der Tschebyscheff Ungleichung.
Wenn ich folgende Wahrscheinlichkeit betrachte (verwende Tschebyscheff):
$ [mm] P(|Z_n-Z|\ge \epsilon|) \le \bruch{E(|Z_n-Z|)}{\epsilon^2} [/mm] $
Für jedes $ [mm] \epsilon [/mm] > 0$. Wieso gilt, wenn ich voraussetze, dass $ [mm] 0<\epsilon<1$ [/mm] folgendes gilt:
$ [mm] P(|Z_n-Z|\ge \epsilon|) \le \bruch{E(|Z_n-Z|\wedge 1)}{\epsilon^2} [/mm] $
Ich danke euch für eure Hilfe
Liebe Grüsse
Marianne
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mi 11.01.2012 | | Autor: | wieschoo |
> Guten Tag
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> Ich habe eine Frage zu einer Anwendung der Tschebyscheff
> Ungleichung.
>
> Wenn ich folgende Wahrscheinlichkeit betrachte (verwende
> Tschebyscheff):
>
> [mm]P(|Z_n-Z|\ge \epsilon|) \le \bruch{E(|Z_n-Z|)}{\epsilon}[/mm]
>
Heute ist zwar nicht mein Tag, aber da sollte doch ein [mm]\varepsilon^2[/mm] im Nenner stehen.
> Für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm]. Wieso gilt, wenn ich voraussetze,
> dass [mm]0<\epsilon<1[/mm] folgendes gilt:
>
> [mm]P(|Z_n-Z|\ge \epsilon|) \le \bruch{E(|Z_n-Z|\wedge 1)}{\epsilon}[/mm]
Für [mm] $\varepsilon\in [/mm] (0,1)$ ist die Aussage doch nur
[mm]P(|Z_n-Z|\ge \epsilon|)\leq \alpha[/mm] mit [mm]\alpha>1[/mm]
und damit trivial. Jetzt solltest du begründen, dass [mm] $E(|Z_n-Z|\wedge 1)\geq [/mm] 1$ gilt. (Ich bin mir grad nicht sicher, ob die Klammer richtig gesetzt sind)
>
Für diesen Tag sind jedoch alle Angaben ohne Gewähr von mir.
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Guten Tag wieschoo
Da hast du natürlich Recht, das sollte [mm] $\epsilon^2$ [/mm] sein.
Ich möchte zeigen, dass folgendes gilt:
[mm] $X_n \to [/mm] X$ in Wahrscheinlichtk genau dann wenn [mm] $E(|X_n-X|\wedge [/mm] 1) [mm] \to [/mm] 0$.
Ich konnte [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] zeigen. Wie kann ich sonst die andere Richtung zeigen? Ich möchte ja irgendwie [mm] $P(|X-X_n|> \epsilon)$ [/mm] durch den Erwartungswert [mm] $E(|X_n-X|\wedge [/mm] 1)$ abschätzen können.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich möchte zeigen, dass folgendes gilt:
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> [mm]X_n \to X[/mm] in Wahrscheinlichtk genau dann wenn
> [mm]E(|X_n-X|\wedge 1) \to 0[/mm].
>
> Ich konnte "[mm]\Rightarrow[/mm]" zeigen. Wie kann ich sonst die
> andere Richtung zeigen? Ich möchte ja irgendwie [mm]P(|X-X_n|> \epsilon)[/mm]
> durch den Erwartungswert [mm]E(|X_n-X|\wedge 1)[/mm] abschätzen
> können.
Also. Nach Chebychev gilt ja $P(|Y| [mm] \ge \epsilon) \le \frac{E(Y^2)}{\epsilon^2}$ [/mm] fuer alle $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$.
Setzen wir $Y := [mm] |X_n [/mm] - X| [mm] \wedge [/mm] 1$. Dann gilt $0 [mm] \le Y(\omega) \le [/mm] 1$ fuer alle [mm] $\omega$, [/mm] womit [mm] $Y(\omega)^2 \le Y(\omega)$ [/mm] gilt. Damit folgt [mm] $E(Y^2) \le [/mm] E(Y)$.
Weiterhin gilt $Y [mm] \ge \epsilon$ [/mm] fuer [mm] $\epsilon [/mm] < 1$ genau dann, wenn [mm] $|X_n [/mm] - X| [mm] \ge \epsilon$ [/mm] ist.
Beides kombiniert ergibt [mm] $P(|X_n [/mm] - X| [mm] \ge \epsilon) \le \frac{E(|X_n - X| \wedge 1)}{\epsilon^2}$.
[/mm]
Wegen [mm] $E(|X_n [/mm] - X| [mm] \wedge [/mm] 1) [mm] \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$ [/mm] folgt schliesslich [mm] $\lim_{n\to\infty} P(|X_n [/mm] - X| [mm] \ge \epsilon) [/mm] = 0$, womit [mm] $X_n \to [/mm] X$ in Wahrscheinlichkeit.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Jetzt solltest du begründen, dass
> [mm]E(|Z_n-Z|\wedge 1)\geq 1[/mm] gilt.
Moment. Ich nehme mal stark an, dass die Zufallsvariable [mm] $|Z_n [/mm] - Z| [mm] \wedge [/mm] 1$ durch [mm] $\omega \mapsto \min\{ |Z_n(\omega) - Z(\omega)|, 1 \}$ [/mm] definiert ist, und nicht durch [mm] $\omega \mapsto \max\{ |Z_n(\omega) - Z(\omega)|, 1 \}$. [/mm] Und in dem Fall gilt [mm] $E(|Z_n [/mm] - Z| [mm] \wedge [/mm] 1) [mm] \le [/mm] 1$, und um Allgemeinen (falls nicht [mm] $|Z_n [/mm] - Z| = 1$ fast sicher ist) ist es sogar echt kleiner.
Ansonsten wuerde die Bedingung [mm] $E(|Z_n [/mm] - Z| [mm] \wedge [/mm] 1) [mm] \to [/mm] 0$ ja gar keinen Sinn machen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 15.01.2012 | | Autor: | marianne88 |
Guten Tag Felix
Genau $ [mm] a\wedge [/mm] b := [mm] \min{(a,b)}$. [/mm] Ich denke, weischoo, wollte sagen, dass ich zeigen sollte [mm] $E(|X_n-X|) \ge [/mm] 1$ dann kann ich dies durch [mm] $E(|X_n-X|\wedge [/mm] 1) $ abschätzen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Genau [mm]a\wedge b := \min{(a,b)}[/mm]. Ich denke, weischoo, wollte
> sagen, dass ich zeigen sollte [mm]E(|X_n-X|) \ge 1[/mm] dann kann
> ich dies durch [mm]E(|X_n-X|\wedge 1)[/mm] abschätzen.
ob er das sagen wollte weiss ich nicht, aber benoetigen tut man es hier zumindest nicht. Es ist eher kontraproduktiv, da man [mm] $|X_n [/mm] - X|$ moeglichst klein bekommen moechte, und [mm] $E(|X_n [/mm] - X|) [mm] \ge [/mm] 1$ weisst eher darauf hin dass es wohl nicht so ist.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 11.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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