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Forum "Stochastik" - Tschebyscheff Ungleichung und Gesetz der Großen Zahlen
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Tschebyscheff Ungleichung und Gesetz der Großen Zahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Mo 15.03.2004
Autor: dancingestrella

Hallo,
ich schreibe morgen eine Klausur über Stochastik.
Mein Problem ist, dass ich die Tschebyscheff Ungleichung formelmäßig zwar kenne und das Gesetz der Großen Zahlen auch, aber ich blicke nicht ganz durch was man damit aussagen kann. So weiß ich nicht wo der Unterschied der beiden Formeln liegt und ich kann es auch nicht in Worten fassen, was sie aussagen.
Kann mir das bitte jemand erklären?
gruß, dancingestrella

        
Bezug
Tschebyscheff Ungleichung und Gesetz der Großen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:20 Mo 15.03.2004
Autor: Stefan

Hallo!

Eine Folge [mm](X_n)_{n \in \IN}[/mm] auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,{\cal A},P)[/mm] genügt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen, wenn für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] folgendes gilt:

[mm]\lim\limits_{n \to \infty} P\left( \vert \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mbox{E}[X_i])\vert \ge \varepsilon \right) = 0[/mm],

d.h. wenn die Folge  [mm]\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mbox{E}[X_i])\right)_{n \in \IN}[/mm] stochastisch gegen [mm]0[/mm] konvergiert.

Die Tschebyscheffsche Ungleichung sagt aus, dass für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] die folgende Beziehung gilt:

[mm]P(|X-\mbox{E}[X]|\ge \varepsilon) \le \frac{1}{\varepsilon^2} \mbox{Var}[X][/mm].

Der Zusammenhang ist nun zum Beispiel wie folgt gegeben:

Behauptung: Eine Bernoullische Versuchsfolge genügt dem schwachen Gesetz der großen Zahlen.

Hierbei nehme ich an, dass [mm]P(X_i=1)=p[/mm] und daher [mm]P(X_i=0)=1-p[/mm] gilt. Daher gilt: [mm]E[X_i]=p[/mm].

Zu zeigen ist also, dass folgendes gilt: Für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] gilt:

[mm]\lim\limits_{n \to \infty} P\left( \vert \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - p )\vert \ge \varepsilon \right) = 0[/mm],

also:

[mm]\lim\limits_{n \to \infty} P\left( \vert \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - p \vert \ge \varepsilon\right) = 0[/mm].

Nun gilt aber:

[mm]\mbox{E}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right] = \frac{1}{n}\cdot np = p[/mm]

und

[mm]\mbox{Var}\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right] = \frac{1}{n^2}\cdot np(1-p) = \frac{p(1-p)}{n}[/mm].

Nach der Tschebyscheffschen Ungleichung gilt also:

[mm]P\left( \vert \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - p)\vert \ge \varepsilon \right) \le \frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}[/mm],

woraus die Behauptung folgt.

Man sieht also (ganz allgemein): Die Tschebyscheffsche Ungleichung dient dazu nachzuweisen, dass eine Folge von Zufallsvariablen dem schwachen Gesetz der großen Zahlen genügt.

Als Abschätzung mit konkreten Zahlen ist sie relativ wertlos, da die Abschätzung in der Regel zu grob ist.

Ich hoffe ich konnte dir etwas weiterhelfen. Leider muss ich jetzt weg. Vielleicht kann dir ja dann bei Nachfragen jemand anders weiterhelfen.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Tschebyscheff Ungleichung und Gesetz der Großen Zahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:00 Mi 17.03.2004
Autor: dancingestrella

Hallo!

Nun ich habe mir einen Zettel und einen Stift genommen, alle Ungleichungen aufgeschrieben und ihre Aussagen in eigene Worte gefasst. Mithilfe ein paar Lernbücher ging das dann auch.
Aber Danke für deine Erklärungen... Ich werde sie mir im wacheren Zustand nochmal verinnerlichen. Ich es eher flüchtig gelesen und für deine Erklärung brauche ich etwas mehr Zeit. Summenformeln kenne ich zwar, aber es dauert immer noch etwas länger bis ich den Überblick habe.
Aber danke!
Die Klausur war übrigens ok.


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