matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisTschebyscheffsche Thetafunktion, Integral
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis" - Tschebyscheffsche Thetafunktion, Integral
Tschebyscheffsche Thetafunktion, Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Tschebyscheffsche Thetafunktion, Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 Mo 10.05.2004
Autor: puq

Hallo,

ich habe ein Problem mit zwei Umformungen, die mir unklar sind.

Angeblich ist für [mm] s \in \IC \ [/mm] mit [mm] \ Re(s) \ > \ 1 [/mm]

[mm] \summe_{p \ prim} log(p)/p^s \ = \integral_{1}^{\infty} \bruch{d\vartheta(x)}{x^s} \, dx \ = \ s \integral_{1}^{\infty} \bruch{\vartheta(x)}{x^{s+1}} \, dx [/mm]

wobei [mm] \vartheta(x) \ = \summe_{p \le x \ , \ p \ prim} log(p) [/mm] die Tschebyscheffsche Thetafunktion ist.

Ich komme nicht darauf, warum das gelten soll.

Es wäre nett, wenn jemand hierzu etwas wüsste.

        
Bezug
Tschebyscheffsche Thetafunktion, Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 Di 11.05.2004
Autor: Julius

Hallo puq!

Zunächst zur Gleichheit:

[mm]\summe_{p \ prim} log(p)/p^s \ = \integral_{1}^{\infty} \bruch{d\vartheta(x)}{x^s}[/mm]

(hier machte das [mm]dx[/mm] keinen Sinn, daher habe ich es entfernt).

Was ist denn [mm]\integral_{1}^{\infty} \bruch{d\vartheta(x)}{x^s}[/mm]? Ein Riemann-Stieltjes-Integral!

[]http://reinhold.kainhofer.com/Math/Stieltjes/

Wie bildet man ein Riemann-Stieltjes-Integral, wenn der Integrator eine monoton wachsende Funktion mit Sprungstellen ist? Die Sprungstelle in den Integrande einsetzen, multipliziert mit dem "Zuwachs" des Integrators an der Sprungstelle. Die Sprungstellen sind aber gerade die Primzahlen. Daher erhält man genau den Ausdruck, der da steht.

Klar?

Nun zur zweiten Gleichheit: Das ist die partielle Integration für Riemann-Stieltjes-Integrale!

Beachte bitte, dass "die Terme ohne Differentiale" in der Formel für die partielle Integration wegen

[mm]\theta(1)=0[/mm]

und

[mm]\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\theta(x)}{x^s}= 0[/mm]

für [mm]Re(s)>1[/mm] verschwinden.

Frag nach, wenn was unklar bleibt.

Liebe Grüße
Julius


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]