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| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie groß muss n sein, dass beim Wurf einer fairen Münze die relative Häufigkeit für "Wappen" mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 im Intervall [0,4;0,6] liegt? |
Diese Aufgabe wollten wir zur Vorbereitung auf unsere Klausur rechnen. Doch irgendwie kommen wir damit nicht ganz klar wegen dem Intervall. Wir wollten diese Aufgabe mit der Tschebyschewschen Ungleichung lösen, aber wir wissen nicht wo wir was einsetzen müssen. Unser Prof ist durch dieses Thema so durchgejagt und hat fast nichts erklärt.
Ich hoffe uns kann jemand helfen. Es wäre sehr drigend!!
Grüße Lilly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Linda,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Diese Aufgabe wollten wir zur Vorbereitung auf unsere
> Klausur rechnen. Doch irgendwie kommen wir damit nicht ganz
> klar wegen dem Intervall. Wir wollten diese Aufgabe mit der
> Tschebyschewschen Ungleichung lösen, aber wir wissen nicht
> wo wir was einsetzen müssen.
Die relative Haeufigkeit ist ein arithmetisches Mit [mm] $\bar [/mm] X$, welches
hier den Erwartungswert $p=0.5$ und die Varianz $p(1-p)/n=0.25/n$ hat.
Wendet man die TU auf [mm] $\bar [/mm] X$ an, so lautet sie [mm] $P(|\bar X-p|\le\varepsilon)\ge 1-0.25/(n\varepsilon^2)$. [/mm]
Setze nun [mm] $\varepsilon=0.1$... [/mm] *Ich erhalte* $n=250$.
> Unser Prof ist durch dieses
> Thema so durchgejagt und hat fast nichts erklärt.
Typisch! Pfui!
> Ich hoffe uns kann jemand helfen. Es wäre sehr drigend!!
Nicht draengeln!
vg Luis
PS: Darf ich einmal fragen, wie du darauf gekommen bist, deine Frage hier
im Matheraum zu stellen? Gooegle, Empfehlung,...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Sa 26.01.2008 | | Autor: | kleinlilly |
Erstmal ganz herzlichen Dank für deine Antwort. Im nachhinein kommt es mir sehr logisch vor.*g*
Ich wollte nicht so drängeln, aber wir schreiben die Klausur am Montag und ich wusste nicht wie schnell die Fragen hier beantwortet werden.
Ich habe das Forum vor circa nem halben Jahr bei google gefunden, als ich Probleme mit ner Matheaufgabe hatte. Bis jetzt hatte ich immer alle Aufgaben hier gefunden oder konnte meine Probleme mit anderen/ähnlichen Aufgaben lösen. Aber an dieser hier sind wir verzweifelt, daher wollten wir mal nachfragen.
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Aber habe noch eine Frage zu deiner Lösung. Ist mir eben aufgefallen. Wie kommst du auf p=0,5??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Aber habe noch eine Frage zu deiner Lösung. Ist mir eben
> aufgefallen. Wie kommst du auf p=0,5??
Weil bei einer fairen Muenze die Wsk fuer Wappen 1/2 ist, Boaah! 
vg Luis
PS: Du faehrst vermutlich besser, wenn du mit der Approxiamtion der Binomialverteilung
an die Normalverteilung arbeitest...
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Ich glaube ich bin einfach etwas zu blöd für dieses thema! Aber ich kenne die TU nur mit [mm] \le 1/n*(P(1-p))/\varepsilon²
[/mm]
dann komme ich aber nicht auf [mm] n\le250
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Ich glaube ich bin einfach etwas zu blöd für dieses thema!
> Aber ich kenne die TU nur mit [mm]\le 1/n*(P(1-p))/\varepsilon²[/mm]
Was steht denn bei dir links von dem [mm] $\le$-Zeichen?
[/mm]
vg Luis
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[mm] P(\{|Hn-p|\ge\varepsilon\})\le1/n*(p(1-p))/\varepsilon²
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> [mm]P(\{|Hn-p|\ge\varepsilon\})\le1/n*(p(1-p))/\varepsilon²[/mm]
Hab's mir doch gedacht. Wir brauchen aber
[mm]P(\{|Hn-p|\le\varepsilon\})[/mm]. Deswegen mein Ansatz. Was ist Hn? Ich
hoffe die relative Haeufigkeit.
vg Luis
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:40 Sa 26.01.2008 | | Autor: | kleinlilly |
Ja Hn ist die relative häufigkeit.
Also wenn wir in der [mm] Klammer\le [/mm] brauchen müssen wir dann nicht einfach nach der Klammer [mm] \ge [/mm] schreiben???
Vllt könntest du einfach mal die Rechnung posten.
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mir ist gerade eingefallen, dass ja der Ausdruck den du meintest = 1- mein Ausdruck ist also von oben. und wenn ich dass dann einsetze und =0.9 setze komme ich auf n=250?? oder habe ich einen Denkfehler!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Sa 26.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> mir ist gerade eingefallen, dass ja der Ausdruck den du
> meintest = 1- mein Ausdruck ist also von oben. und wenn ich
> dass dann einsetze und =0.9 setze komme ich auf n=250??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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Bin ja schonmal stolz, dass ich darauf gekommen bin.*g*. Habe aber noch zwei Fragen! Dann hat sich alles für mich geklärt.
Also bei der Aufgabe! Wozu habe ich das Intervall angegeben?? Ist damit einfach nur die 0,5 gemeint, weil sich Hn ja daran annähert und das liegt ja in dem Intervall???
Und wie kann ich mir merken wann ich kleiner und wann größer nehmen muss??
Ich hoffe du kannst mir nochmal helfen
Danke und liebe Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 So 27.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Lilly,
> Habe aber noch zwei Fragen! Dann hat sich alles für mich
> geklärt.
> Also bei der Aufgabe! Wozu habe ich das Intervall
> angegeben?? Ist damit einfach nur die 0,5 gemeint, weil
> sich Hn ja daran annähert und das liegt ja in dem
> Intervall???
Das Intervall liegt symmetrisch um den Erwartungswert p=0.5 der
relativen Haeufigkeit, so dass die TU angewandt werden kann. Diese besagt
(in einer Version) ganz allgemeine: Fuer eine Zufallsvariable X mit
Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma^2$ [/mm] gilt:
[mm] $P(|X-\mu|\le\varepsilon)=P(\mu-\varepsilon\le X\le\mu+\varepsilon)\ge1-\sigma^2/\varepsilon^2$
[/mm]
Du siehst, das Intervall [mm] $[\mu-\varepsilon,X\le\mu+\varepsilon]$ [/mm] hat die Mitte [mm] $\mu$.
[/mm]
Genauso war es in der Aufgabenstellung: [mm] $\mu=p=0.5$, $\varepsilon=0.1$.
[/mm]
> Und wie kann ich mir merken wann ich kleiner und wann
> größer nehmen muss??
Das musst du aus dem Zusammenhang entnehmen. Du musst aber bedenken, dass
die TU bei Fragen nach [mm] $P(\mu-\varepsilon\le X\le\mu+\varepsilon)$
[/mm]
eine *Unterschranke* der Wsk liefert, bei Fragen der Form
[mm] $P(X\not\in[\mu-\varepsilon,X\le\mu+\varepsilon])$ [/mm] eine *Oberschranke*.
> Ich hoffe du kannst mir nochmal helfen
Das hoffe ich auch
Wenn ich mich recht entsinne haben wir uns nun auf $n=250$ geeinigt. Ich
kann dir aber nicht ersparen, auf eine dem Problem angemessenere Loesung
hinzuweisen, die vermutlich fuer dich *klausurrelevant* ist. Ich
unterstelle naemlich, dass ihr die Approximation der Binomialverteilung durch
die Normalverteilung behandelt habt (Satz von deMoivre-Laplace, Zentraler
Grenzwertsatz). Danach gilt
[mm] $P(0.4\le H_n\le0.6)=\left(\frac{0.4-0.5}{\sqrt{0.25}}\sqrt{n}\le\frac{H_n-0.5}{\sqrt{0.25}}\sqrt{n}\le\frac{0.6-0.5}{\sqrt{0.25}}\sqrt{n}\right)\approx2\Phi\left(\frac{0.6-0.5}{\sqrt{0.25}}\sqrt{n}\right)-1$
[/mm]
Setzt man diesen Ausdruck gleich 0.9 und loest nach n auf, so ergibt sich
$n=67.64$. Mithin sollte bei dieser Vorgehensweise $n=68$ gewaehlt
werden, ein wesentlich kostenguenstigerer Wert als der oben.
vg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 So 27.01.2008 | | Autor: | kleinlilly |
Danke nochmal für die Erklärung. ich glaube ich habe jetzt alles soweit verstanden. Womit ich mir 100%tig sicher bin ist, dass wir nur mit der TU gerechnet haben. Das andere kenne ich nicht und steht auch nicht im skript.
Danke nochmal!
Grüße Lilly
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