Tschebyschow und Schranke < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Mi 15.12.2010 | | Autor: | janisE |
| Aufgabe | [mm] X_1,X_2,\cdots,X_n : (\Omega,\mathcal{F},P) \rightarrow \{-3,-2,1,4\}[/mm] seien Laplace-verteilte, unabhängige Zufallsvariablen auf [mm] \{-3,-2,1,4\} [/mm]
i)
Finden Sie mit Tchebyschow eine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit [mm] P(|X_1 + \cdots + X_n| \geq n) [/mm]
ii)
Folgern Sie aus i)
[mm] \lim\limits_{n \rightarrow\infty} P(|X_1 + \cdots + X_n| \geq n) = 0 [/mm] |
Hallo!
i)
Tchebyschow sagt aus:
Sei X eine ZV mit Erwartungswert [mm] \mu [/mm] und endlicher Varianz [mm] \sigma^2 [/mm] dann gilt für [mm] n \in \mathbb{R}, n > 0: P[|X - \mu| \geq n] \leq \frac{\sigma^2}{n^2} [/mm]
Ich tue mich etwas schwer mit der Aufgabenstellung, ist X nun eine Zufallsvariable, die aus den Elementen [mm] X_1,\cdots,X_n [/mm] besteht, oder ist jedes [mm] X_i [/mm] eine eigene Zufallsvariable?
Ich habe mir hierfür jedenfalls überlegt, erst einmal den EW und die Varianz zu berechnen.
[mm] EW[X_i] = \frac{1}{4} \cdot (-3) + \frac{1}{4} \cdot (-2) + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 4 = -\frac{3}{4} + \frac{-2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = 0 [/mm]
[mm] Var[X_i] = (-3 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (-2 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (4-0)^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9 + 4 + 1 + 4}{4} = \frac{18}{4} = 4.5 [/mm]
Das eingesetzt bringt mich auf
$ [mm] P[|X-0|\geq [/mm] n] = P[|X| [mm] \geq [/mm] n] [mm] \leq \frac{4.5}{n^2} [/mm] $
Womit ich allerdings nicht viel anfangen kann.
Kann ich hier weitermachen - oder habe ich einen falschen Ansatz gewählt?
Danke und noch einen schönen Abend,
Janis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mi 15.12.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Ich tue mich etwas schwer mit der Aufgabenstellung, ist X
> nun eine Zufallsvariable, die aus den Elementen
> [mm]X_1,\cdots,X_n[/mm] besteht, oder ist jedes [mm]X_i[/mm] eine eigene
> Zufallsvariable?
Sowohl, als auch.
>
> Ich habe mir hierfür jedenfalls überlegt, erst einmal den
> EW und die Varianz zu berechnen.
>
> [mm]EW[X_i] = \frac{1}{4} \cdot (-3) + \frac{1}{4} \cdot (-2) + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 4 = -\frac{3}{4} + \frac{-2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = 0[/mm]
>
> [mm]Var[X_i] = (-3 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (-2 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (4-0)^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9 + 4 + 1 + 4}{4} = \frac{18}{4} = 4.5[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]Var[X_i] = (-3 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (-2 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (4-0)^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9 + 4 + 1 + \text{16}}{4} = \frac{30}{4} = 7.5[/mm]
Bestimme nun [mm] $\mathrm{E}[X]$ [/mm] und [mm] $\mathrm{Var}[X]$ [/mm] fuer [mm] $X=X_1+\dots+X_n$ [/mm] und wende dann die TU an.
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Mi 15.12.2010 | | Autor: | janisE |
> > [mm]EW[X_i] = \frac{1}{4} \cdot (-3) + \frac{1}{4} \cdot (-2) + \frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 4 = -\frac{3}{4} + \frac{-2}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = 0[/mm]
>
> >
> > [mm]Var[X_i] = (-3 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (-2 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (4-0)^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9 + 4 + 1 + 4}{4} = \frac{18}{4} = 4.5[/mm]
>
>
Ups..
> [mm]Var[X_i] = (-3 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (-2 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (1 - 0)^2 \cdot \frac{1}{4} + (4-0)^2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9 + 4 + 1 + \text{16}}{4} = \frac{30}{4} = 7.5[/mm]
> Bestimme nun [mm]\mathrm{E}[X][/mm] und [mm]\mathrm{Var}[X][/mm] fuer
> [mm]X=X_1+\dots+X_n[/mm] und wende dann die TU an.
[mm] E[X] = \sum\limits_{i=1}^n E[X_i] = n\cdot E[X_1] = n\cdot 0 = 0 [/mm]
Da alle [mm] X_i [/mm] gemäß Aufgabe unabh., sind sie auch unkorreliert, daher:
[mm] Var[X] = \sum\limits_{i=1}^n Var[X_i] = n \cdot Var[X_1] = n \cdot 7.5 [/mm]
Daher folgt:[mm] \frac{7.5}{n} [/mm]
[mm] [|X-0| \geq n] \leq \frac{n\cdot 7.5}{n\cdot n} = [|X| \geq n] \leq \frac{7.5}{n} [/mm]
An der Stelle kann ich ganz einfach ii) folgern (wegen [mm] \frac{7.5}{n} [/mm]), aber was ist jetzt die obere Schranke? Auch [mm] \frac{7.5}{n} [/mm]?
Wieder mal vielen Dank für deine Geduld ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mi 15.12.2010 | | Autor: | luis52 |
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> An der Stelle kann ich ganz einfach ii) folgern (wegen
> [mm]\frac{7.5}{n} [/mm]),
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber was ist jetzt die obere Schranke?
> Auch [mm]\frac{7.5}{n} [/mm]?
Ja, das ist ja eine obere Schranke nach der TU.
>
> Wieder mal vielen Dank für deine Geduld ;)
>
Gerne.
vg Luis
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