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| Aufgabe | Fuer viele Tumorarten kann das Wachstum der Groeße eines Tumors V(t) durch die folgenden beiden Gleichungen beschrieben werden:
1. V'(t) = r(t) * v(t)
2. r'(t) = -c * r(t)
Dabei steht t fuer die Zeit mit t > 0, V fuer das Tumorvolumen, r(t) fuer die zeitabhaengige Wachstumsrate des Tumors. c ist eine positive Konstante, r(0) = b die anfaengliche Wachstumsrate mit b>0.
1) Ermitteln Sie die Loesung der Gleichung (2) und zeigen Sie, dass V(t) = V(0) * [mm] e^{\bruch{b}{c}*(1-e^{-c*t})} [/mm] |
Hi.
Also ich gruebel schon die ganze Zeit ueber die erste Aufgabe. Loesung der Gleichung (2) meint ja r(t) zu finden. Aber ich finde da ueberhaupt keinen Anhaltspunkt wie ich auf r(t) kommen soll... hoffe mir kann da jemand einen Denkanstoß geben. Waere nett.
MFG Tim
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 So 08.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hier handelt es sich um eine Differentialgleichung (DGL).
Zunächst zu deiner Beruhigung: Du scheinst ja aus NRW zu kommen, und dort werden DGL im Matheunterricht NICHT behandelt.
Nun gut, gucken wir uns die zweite Gleichung mal an:
r'(t)=-c*r(t)
Diese Gleichung besagt ja, dass die erste Ableitung einer Funktion gleich negative Konstante mal Funktion selbst.
Jetzt gilt es, einen Ansatz für die Funktion r(t) zu finden.
Ich behaupte mal, dass r(t) die Form [mm] r(t)=a*e^{-c*t}+b [/mm] haben kann.
Dann sieht man, dass [mm] r'(t)=-a*c*e^{-c*t} [/mm] gilt.
Jetzt setzt man das ganze mal gleich:
[mm] -a*c*e^{-c*t}=-c*(a*e^{-c*t}+b)=-a*c*e^{-c*t}-c*b
[/mm]
Hier sieht man jetzt schonmal, dass das -c*b zu viel ist.
Da c schon festgelegt ist, und nicht Null sein kann, da r(t) sonst konstant wäre, muss b null sein.
Daraus folgt, dass r(t) die Form
[mm] r(t)=a*e^{-c*t} [/mm] haben muss.
Nun hast du ja noch einige Randbedingungen gegeben, nämlich dass r(0)=b usw.
Diese musst du dann weiter "verarbeiten", so dass du die Paramter irgendwie mit bekannten Größen ausdrücken kannst.
Viele Grüße,
Kroni
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Hi. Danke schonmal fuer deine Hilfe.
Wie kommst du aber zu der Behauptung das r(t) die genannte allgemeine Funktion von dir ist? Ist das irgendwo "vorgeschrieben"?
Du sagtest ja, dass Differentialgleichungen nicht behandelt werden (wir hatten da auch maximal 2 Stunden, die dafuer genutzt wurden) - darf man also davon ausgehen, dass im Zentralabitur eine Aufgabe diesen Formates nicht drankommt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 08.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
also soweit ich weiß, stehen DGL nirgendwo in den Vorgaben des Zentralabiturs, also können die das nicht drannehmen.
Wie ich darauf komme, dass r(t) so aufgestellt werden kann?
Ich nenne es mal Erfahrung. Wir hatten DGL im Physik LK, deshalb weiß ich schonmal, dass eine solche DGL mit einer e Funktion zu lösen ist.
Und da da ja schon stand, dass r'(t)=-c*r(t) ist, habe ich mir das einfach mal so ausgedacht...
Man braucht einen Blick und etwas Übung dafür.
Naja, aber der Ansatz funktioniert ja, habe die Aufgabe gerade nochmal durchgerechnet, und es passt.
Liebe Grüße,
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 So 08.04.2007 | | Autor: | evilmaker |
Okay Danke fuer die Hilfe. Dann werde ich mal den DGL Kram dezent aus meinem Kopf loeschen bzw. ins Vorbewusste verbannen ;).
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