Tunneleffekt < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Di 14.09.2010 | | Autor: | Rufio87 |
Hallo!
Habe ein kleines Verständnisproblem (oder mehrere :)).
Und zwar. beim Tunneleffekt kommt man ja immer auf 3 verschiedene Wellenfunktionen für jeden bereich eine:
I: [mm] \phi(x)_{I} [/mm] = [mm] A_{1} e^{ikx} [/mm] + [mm] A_{2} e^{-ikx}
[/mm]
II: [mm] \phi(x)_{II} [/mm] = [mm] B_{1} e^{\lambda x} [/mm] + [mm] B_{2} e^{-\lambda x} [/mm]
III: [mm] \phi(x)_{I} [/mm] = [mm] C_{2} e^{-ikx}
[/mm]
mit bestimmten k und [mm] \lambda. [/mm] Für die 5!!! Koeffizienten gibt es 4!!! Stetigkeitsbedingungen. In meiner Literatur wird [mm] A_{1} [/mm] wegen der Normierungseigenschaft 1 gesetzt! Wie setzt man die Normierung an, damit das rausbekommt???
Das Teilchen soll sich ja von links nach rechts auf die Barriere bewegen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion gibt aber die Wahrscheinlichkeitsdichte des Aufenthaltes an. Wie lässt sich da bitte beides kombinieren?
Ich hoffe ihr versteht ungefär was ich meine, ist schwer auszudrücken!
Ich dachte aber immer, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt ergibt. Wie lässt sich das bitte kombinieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Di 14.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo!
>
> Habe ein kleines Verständnisproblem (oder mehrere :)).
> Und zwar. beim Tunneleffekt kommt man ja immer auf 3
> verschiedene Wellenfunktionen für jeden bereich eine:
> I: [mm]\phi(x)_{I} = A_{1} e^{ikx} + A_{2} e^{-ikx}[/mm]
> II: [mm]\phi(x)_{II} = B_{1} e^{\lambda x} + B_{2} e^{-\lambda x}[/mm]
> III: [mm]\phi(x)_{III} = C_{2} e^{-ikx}[/mm]
> mit bestimmten k und [mm]\lambda.[/mm] Für die 5!!! Koeffizienten gibt es 4!!!
> Stetigkeitsbedingungen. In meiner Literatur wird [mm]A_{1}[/mm]
> wegen der Normierungseigenschaft 1 gesetzt! Wie setzt man
> die Normierung an, damit das rausbekommt???
Die Normierungsbedingung ist immer, dass das Betragsquadrat der Wellenfunktion, integriert über den gesamten Raum, 1 ergibt:
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} |\phi(x)|^2 dx = 1 [/mm]
> Das Teilchen soll sich ja von links nach rechts auf die
> Barriere bewegen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion
> gibt aber die Wahrscheinlichkeitsdichte des Aufenthaltes
> an. Wie lässt sich da bitte beides kombinieren?
>
> Ich hoffe ihr versteht ungefär was ich meine, ist schwer
> auszudrücken!
>
> Ich dachte aber immer, dass das Betragsquadrat der
> Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeitsdichte für den
> Aufenthalt ergibt. Wie lässt sich das bitte kombinieren?
Ich sehe da kein Problem. Die Normierungsbedingung ergibt doch nur einen globalen, ortsunabhängigen Faktor. Ohne die Normierungsbedingung muss du durch das oben genannte Integral teilen - was auf dasselbe herauskommt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 14.09.2010 | | Autor: | Rufio87 |
> Die Normierungsbedingung ist immer, dass das Betragsquadrat
> der Wellenfunktion, integriert über den gesamten Raum, 1
> ergibt:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty} |\phi(x)|^2 dx = 1[/mm]
Das mit der Normierungsbedingung weiß ich aber wenn ich dieses Integral durchführe komme ich auf ein divergentes Integral. siehe: http://www-users.rwth-aachen.de/Christian.Meessen/hp/img/tunneleffekt2.jpg
auch wenn ich nur die wahrscheinlichkeit ausrechnen würde, dass sich das Teilchen in Bereich III befindet komme ich auf einen Wert der keinesfalls kleiner als 1 ist!
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\vmat{C e^{ikx} }^{2} dx} [/mm] = [mm] C^2 \infty
[/mm]
Ich nehme an, dass man die endgültige Wellenfunktion als Summe einzelner Lösungen zusammensetzen muss? (Hab das irgendwo gelesen)
In meinem Skriptn wurde wie schon erwähnt A1 wegen normierungsbedingung 1 gesetzt. Kann das sein dass das ein laaanger Weg ist den Wert von A1 zu bekommen ;)?
Weiters steht dann in meinem Skript dass Tunnelwahrscheinlichkeit T = [mm] \vmat{\phi(x,t)}^2 [/mm] = [mm] \vmat{C}^2 [/mm] ist. und die Reflexionswahrscheinlichkeit R = 1 - T ist.
Eigentlich sollt aber genau das nur die WahrscheinlichkeitsDICHTE sein für die aber nicht gilt R = 1 - T. Sondern es müsste gelten, dass das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] gleich 1 ergibt.
p.s.: sorry wegen der falschen Mitteilung im Post
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Hallo,
> > Die Normierungsbedingung ist immer, dass das Betragsquadrat
> > der Wellenfunktion, integriert über den gesamten Raum, 1
> > ergibt:
> >
> > [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty} |\phi(x)|^2 dx = 1[/mm]
>
> Das mit der Normierungsbedingung weiß ich aber wenn ich
> dieses Integral durchführe komme ich auf ein divergentes
> Integral. siehe:
> http://www-users.rwth-aachen.de/Christian.Meessen/hp/img/tunneleffekt2.jpg
Hast wirklich die einzelnen [mm] \phi_i [/mm] mit den richtigen Grenzen beachtet? Wie sieht denn deine Rechnung aus.
>
> auch wenn ich nur die wahrscheinlichkeit ausrechnen würde,
> dass sich das Teilchen in Bereich III befindet komme ich
> auf einen Wert der keinesfalls kleiner als 1 ist!
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\vmat{C e^{ikx} }^{2} dx}[/mm] = [mm]C^2 \infty[/mm]
>
Hier hast du das Minus im Exponenten der e-Funktion unterschlagen.
> Ich nehme an, dass man die endgültige Wellenfunktion als
> Summe einzelner Lösungen zusammensetzen muss? (Hab das
> irgendwo gelesen)
Klar. Dann hast du eine Funktion die auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert ist. Deine einzelnen Funktionen [mm] \phi [/mm] sind ja nur abschnittsweise definiert.
>
> In meinem Skriptn wurde wie schon erwähnt A1 wegen
> normierungsbedingung 1 gesetzt. Kann das sein dass das ein
> laaanger Weg ist den Wert von A1 zu bekommen ;)?
>
Die Wellenfunktion ist immer nur bis auf eine globale Phase der Form [mm] e^{i\delta} [/mm] bestimmt. Daher kann man o.B.d.A. [mm] A_1=1 [/mm] setzen.
> Weiters steht dann in meinem Skript dass
> Tunnelwahrscheinlichkeit T = [mm]\vmat{\phi(x,t)}^2[/mm] =
> [mm]\vmat{C}^2[/mm] ist. und die Reflexionswahrscheinlichkeit R = 1
> - T ist.
> Eigentlich sollt aber genau das nur die
> WahrscheinlichkeitsDICHTE sein für die aber nicht gilt R =
> 1 - T. Sondern es müsste gelten, dass das Integral der
> Wahrscheinlichkeitsdichte von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]+\infty[/mm] gleich 1
> ergibt.
>
Du musst ja hier auch nicht das Betragsquadrat der ganzen Funktion [mm] \phi [/mm] nehmen. Sondern nur einer Teilfunktion!!
Gruß Patrick
>
> p.s.: sorry wegen der falschen Mitteilung im Post
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mi 15.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Die Normierungsbedingung ist immer, dass das Betragsquadrat
> > der Wellenfunktion, integriert über den gesamten Raum, 1
> > ergibt:
> >
> > [mm]\integral_{-\infty}^{+\infty} |\phi(x)|^2 dx = 1[/mm]
>
> Das mit der Normierungsbedingung weiß ich aber wenn ich
> dieses Integral durchführe komme ich auf ein divergentes
> Integral. siehe:
> http://www-users.rwth-aachen.de/Christian.Meessen/hp/img/tunneleffekt2.jpg
Richtig. Eine Ebene Welle ist nicht normierbar (zumindest nicht im üblichen Sinn). Das ist kein Wunder: eine ebene Welle fester Frequenz hat ja eine unendliche Ausdehnung und daher überall die gleiche (endliche) Wahrscheinlichkeitsdichte. Wenn du das über einen unendlichen Raum integrierst, kommt nichts Endliches heraus.
> auch wenn ich nur die wahrscheinlichkeit ausrechnen würde,
> dass sich das Teilchen in Bereich III befindet komme ich
> auf einen Wert der keinesfalls kleiner als 1 ist!
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\vmat{C e^{ikx} }^{2} dx}[/mm] = [mm]C^2 \infty[/mm]
>
> Ich nehme an, dass man die endgültige Wellenfunktion als
> Summe einzelner Lösungen zusammensetzen muss? (Hab das
> irgendwo gelesen)
Korrekt. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier !
Eigentlich muss man hier mit Wellenpaketen rechnen, also mit Überlagerungen ebener Wellen:
[mm] \psi(x,t) = \integral_{-\infty}^{+\infty} F(k) e^{-ikx} dk [/mm],
wobei $F(k)$ das Frequenzspektrum des Wellenpakets bezeichnet. Damit ist
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\infty}^{+\infty} |F(k)|^2 dk [/mm].
Da so ein Wellenpaket nicht unendlich ausgedehnt ist, ergibt sich bei der Integration ein endlicher Wert.
Andererseits kann man für die Stetigkeitsbedingungen für eine feste Frequenz formulieren, und das ist die Rechnung, um die es hier geht. Es bleibt, wie du zu Recht schreibst, eine Konstante (z.B.) [mm] $A_1$ [/mm] übrig, die durch die Stetigkeitsbedingungen nicht festgelegt ist.
> In meinem Skriptn wurde wie schon erwähnt A1 wegen
> normierungsbedingung 1 gesetzt. Kann das sein dass das ein
> laaanger Weg ist den Wert von A1 zu bekommen ;)?
Eigentlich nicht wegen der Normierungsbedingung. Man nimmt an, dass eine ebene Welle mit Amplitude [mm] $A_1$ [/mm] von einer Seite ankommt: [mm] $A_1*e^{-ikx}$. [/mm] Davon wird ein Teil am Übergang zu Bereich II reflektiert, dies ergibt eine ebene Welle zurück: [mm] $A_2*e^{+ikx}$. [/mm] Eine Teil der Welle erscheint auf der anderen Seite der Potentialbarriere im Bereich III: [mm] $C_1*e^{-ikx}$. [/mm]
>
> Weiters steht dann in meinem Skript dass
> Tunnelwahrscheinlichkeit T = [mm]\vmat{\phi(x,t)}^2[/mm] =
> [mm]\vmat{C}^2[/mm] ist. und die Reflexionswahrscheinlichkeit R = 1
> - T ist.
Die Transmissionswahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Intensitäten der auslaufenden Welle in Bereich III und der einlaufenden Welle in Bereich I, also
[mm] T= \bruch{|C_1|^2}{|A_1|^2} [/mm] .
Entsprechend ist
[mm] R = \bruch{|A_2|^2}{|A_1|^2} [/mm] .
Wenn du das ausrechnest (unter Ausnutzung der Stetigkeitsbedingungen), fällt [mm] $A_1$ [/mm] heraus.
> p.s.: sorry wegen der falschen Mitteilung im Post
Kein Problem, habe sie versteckt 
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Fr 17.09.2010 | | Autor: | Rufio87 |
super, danke euch beiden... hab da wohl ein ziemlich schlechtes skriptum aber jetzt versteh ichs schon viel besser!!!!
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