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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Zu bestimmen: Alle Lösungen der gewöhnlichden Differentialgleichung:
y' = [mm] \frac{2xy}{x^2+y^2} [/mm] |
Hallo!
Bei obiger Differentialgl. weiß ich nicht, welches Verfahren ich anwenden soll.
Ich kenne bisher Verfahren für:
1) y' = f(x)g(y)
2) y' = [mm] f(\frac{y}{x})
[/mm]
3) y' + g(x)y=0
4) y' + g(x)y=h(x)
5) [mm] y'+g(x)y+h(x)y^{\alpha} [/mm] = 0 , [mm] \alpha \neq [/mm] 1
Aber keins dieser Typen trifft zu, oder?
danke sher.
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Hallo Wimme!
Klammere in Zähler und Nenner [mm] $y^2$ [/mm] aus und kürze.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 09.01.2009 | | Autor: | Wimme |
Hi!
Okay, damit ist es mir gelungen, den Typ rauszukiegen ;)
Wir haben wieder y' = [mm] f(\bruch{y}{x})
[/mm]
So wie in dem anderen Thread gehe ich vor:
U = [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
f(u) = y' = [mm] \bruch{2u}{u^2+1}
[/mm]
Für die Trennung der Variablen erhalte ich:
[mm] \bruch{u^2+1}{-u^3+u} \cdot [/mm] du = [mm] \bruch{1}{x} \cdot [/mm] dx
ergibt bei mir:
[mm] ln(|\bruch{u}{u^2-1}|)=c+ln(|x|)
[/mm]
soweit richtig und nachvollziehbar?
Kommt mir schon wieder merkwürdig vor.
Muss ich das jetzt unter Berücksichtigung aller Beträge nach u auflösen?
Wie mache ich das am besten?
Dankesehr.
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Hallo Wimme,
> Hi!
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> Okay, damit ist es mir gelungen, den Typ rauszukiegen ;)
>
> Wir haben wieder y' = [mm]f(\bruch{y}{x})[/mm]
>
> So wie in dem anderen Thread gehe ich vor:
> U = [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
> f(u) = y' = [mm]\bruch{2u}{u^2+1}[/mm]
>
> Für die Trennung der Variablen erhalte ich:
> [mm]\bruch{u^2+1}{-u^3+u} \cdot[/mm] du = [mm]\bruch{1}{x} \cdot[/mm] dx
> ergibt bei mir:
> [mm]ln(|\bruch{u}{u^2-1}|)=c+ln(|x|)[/mm]
>
> soweit richtig und nachvollziehbar?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Kommt mir schon wieder merkwürdig vor.
> Muss ich das jetzt unter Berücksichtigung aller Beträge
> nach u auflösen?
Im Prinzip schon.
Kannst aber auch einfach die Beträge weglassen.
Führt auf dieselbe Lösungsfunktion.
> Wie mache ich das am besten?
Spaßeshalber kannst Du ja mal ansetzen
[mm]\vmat{\bruch{u}{u^{2}-1}}=\alpha*\bruch{u}{u^{2}-1}}, \ \alpha \in {-1,1}[/mm]
[mm]\vmat{x}=\beta*\bruch{u}{u^{2}-1}}, \ \beta \in {-1,1}[/mm]
>
> Dankesehr.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Wimme |
Hey!
Danke für deine Hilfe. Aber ich bleibe leider schon wieder stecken.
Ich komme am Ende auf
[mm] u_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{\alpha}{2e^c \beta x} [/mm] +- [mm] \sqrt{\bruch{1}{4e^{2c}x^2}+1}
[/mm]
Wie kriege ich das denn jetzt schöner? Und vor allem, wie entscheide ich, welche Lösung am Ende die richtige ist?
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Hallo Wimme,
> Hey!
>
> Danke für deine Hilfe. Aber ich bleibe leider schon wieder
> stecken.
> Ich komme am Ende auf
>
> [mm]u_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{\alpha}{2e^c \beta x}[/mm] +-
> [mm]\sqrt{\bruch{1}{4e^{2c}x^2}+1}[/mm]
>
> Wie kriege ich das denn jetzt schöner? Und vor allem, wie
> entscheide ich, welche Lösung am Ende die richtige ist?
Definiere zunächst
[mm]C_{1}:=e^{c}[/mm]
Es heißt, Du sollst alle Lösungen bestimmen.
Um die Lösungen jetzt konkret zu bestimmen, gehe wie folgt vor:
Fall i) [mm]\beta=\alpha[/mm]
Fall ii) [mm]\beta=-\alpha[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Sa 10.01.2009 | | Autor: | Wimme |
okay, ich glaube vielmehr kann man dann auch nicht machen, oder?
Dann würde ich behaupten, es gibt 4 Lösungen, und zwar.
1. y(x) = x [mm] \cdot (\bruch{1}{2C_1x}+\sqrt{\bruch{1}{4C_1^2x^2}+1})
[/mm]
2. y(x) = x [mm] \cdot (\bruch{1}{2C_1x}-\sqrt{\bruch{1}{4C_1^2x^2}+1})
[/mm]
3. y(x) = x [mm] \cdot (-\bruch{1}{2C_1x}+\sqrt{\bruch{1}{4C_1^2x^2}+1})
[/mm]
4.y(x) = x [mm] \cdot (-\bruch{1}{2C_1x}-\sqrt{\bruch{1}{4C_1^2x^2}+1})
[/mm]
wobei [mm] C_1 [/mm] := [mm] e^c
[/mm]
So richtig?
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Hallo Wimme,
> okay, ich glaube vielmehr kann man dann auch nicht machen,
> oder?
Jo.
>
> Dann würde ich behaupten, es gibt 4 Lösungen, und zwar.
>
> 1. y(x) = x [mm]\cdot (\bruch{1}{2C_1x}+\sqrt{\bruch{1}{4C_1^2x^2}+1})[/mm]
>
> 2. y(x) = x [mm]\cdot (\bruch{1}{2C_1x}-\sqrt{\bruch{1}{4C_1^2x^2}+1})[/mm]
>
> 3. y(x) = x [mm]\cdot (-\bruch{1}{2C_1x}+\sqrt{\bruch{1}{4C_1^2x^2}+1})[/mm]
>
> 4.y(x) = x [mm]\cdot (-\bruch{1}{2C_1x}-\sqrt{\bruch{1}{4C_1^2x^2}+1})[/mm]
>
> wobei [mm]C_1[/mm] := [mm]e^c[/mm]
>
> So richtig?
Stimmt.
Gruß
MathePower
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