Typen von Kegelschnitten < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche Typen von Kegelschnitte sind durch diese Gleichungen gegeben?
1. [mm] x^2 [/mm] + 6xy + [mm] 9y^2 [/mm] + x − 2y + 7 = 0,
2. [mm] x^2 [/mm] + 6xy + [mm] 9y^2 [/mm] + 2x + 6y − 1 = 0.
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Jetzt habe ich es so gelernt, dass sich das auf verschiedene Gleichungen überführen lässt:
1. [mm] x^2 [/mm] + 6xy + [mm] 9y^2 [/mm] + x − 2y + 7 = 0 [mm] \gdw (x+3y)^2 [/mm] +x -2y +7 = 0
setze x' = x+3y [mm] \gdw[/mm]x=x'-3y und y= y'
[mm] \Rightarrow [/mm] (x'-3y' [mm] +3y')^2 [/mm] +x'-3y'-3y'+7=0
[mm] \gdw [/mm] x'^2 -5y' +7=0
[mm] \gdw (x'+\frac{1}{2})^2 [/mm] -5y' [mm] +6\frac{3}{4}=0
[/mm]
das soll eine parabel sein, aber warum?
bei 2.
[mm] x^2 [/mm] + 6xy + [mm] 9y^2 [/mm] + 2x + 6y − 1 = 0 [mm] \gdw (x+3y)^2 [/mm] +2(x+3y)=1
das sollen zwei parallele Geraden sein, aber wieso?
Ich habe auch keinerlei Übersichten gefunden, an denen ich jetzt eindeutig festmachen könnte, wann etwas als Ergebnis eine Parabel ist, oder zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Gerade etc.
Kann mir da eventuell jemand eine gute Quelle dafür sagen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mi 26.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Welche Typen von Kegelschnitte sind durch diese Gleichungen
> gegeben?
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> 1. [mm]x^2[/mm] + 6xy + [mm]9y^2[/mm] + x − 2y + 7 = 0,
> 2. [mm]x^2[/mm] + 6xy + [mm]9y^2[/mm] + 2x + 6y − 1 = 0.
>
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> Jetzt habe ich es so gelernt, dass sich das auf
> verschiedene Gleichungen überführen lässt:
>
> 1. [mm]x^2[/mm] + 6xy + [mm]9y^2[/mm] + x − 2y + 7 = 0 [mm]\gdw (x+3y)^2[/mm] +x -2y
> +7 = 0
> setze x' = x+3y [mm]\gdw[/mm]x=x'-3y und y= y'
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x'-3y' [mm]+3y')^2[/mm] +x'-3y'-3y'+7=0
> [mm]\gdw[/mm] x'^2 -5y' +7=0
Da hast Du ein x' verschlampert ! Richtig: x'^2+x' -5y' +7=0
> [mm]\gdw (x'+\frac{1}{2})^2[/mm] -5y' [mm]+6\frac{3}{4}=0[/mm]
Jetzt simmts wieder
>
> das soll eine parabel sein, aber warum?
Wenn Du obige Gl. nach y' auflöst bekommst Du etwas von der Form
[mm] $y'=a(x'+\frac{1}{2})^2+b$
[/mm]
Im x'-y' _Koordinatensystem ist das die Gl. einer Parabel.
>
> bei 2.
> [mm]x^2[/mm] + 6xy + [mm]9y^2[/mm] + 2x + 6y − 1 = 0 [mm]\gdw (x+3y)^2[/mm]
> +2(x+3y)=1
> das sollen zwei parallele Geraden sein, aber wieso?
>
>
Wir haben also [mm] (x+3y)^2+2(x+3y)-1=0
[/mm]
Wenn wir u=x+3y setzen, so haben wir die quadratische Gleichung
[mm] u^2+2u-1=0.
[/mm]
Diese hat die Lösungen [mm] $u_{1/2}=-1 \pm \wurzel{2}$
[/mm]
Nun betrachten wir
[mm] $G_1:={(x,y) \in \IR^2:x+3y=-1+ \wurzel{2}\}$
[/mm]
und
[mm] $G_2:={(x,y) \in \IR^2:x+3y=-1- \wurzel{2}\}$
[/mm]
[mm] G_1 [/mm] und [mm] G_2 [/mm] sind parallele Geraden in der Ebene.
Setzen wir noch
$K:={(x,y) [mm] \in \IR^2:$ x^2 [/mm] $ + 6xy + $ [mm] 9y^2 [/mm] $ + 2x + 6y − 1 = [mm] 0\},$
[/mm]
so zeigen obige Rechnungen:
[mm] $K=G_1 \cup G_2$
[/mm]
> Ich habe auch keinerlei Übersichten gefunden, an denen ich
> jetzt eindeutig festmachen könnte, wann etwas als Ergebnis
> eine Parabel ist, oder zwei parallele Geraden oder zwei
> sich schneidende Gerade etc.
>
> Kann mir da eventuell jemand eine gute Quelle dafür sagen?
http://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt
FRED
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| Aufgabe | Welche Typen von Kegelschnitten werden durch folgende Gleichungen gegeben?
1. [mm] x^2 [/mm] + 6xy + [mm] 6y^2 [/mm] +3x + 6y +1 =0
2. [mm] 2x^2 [/mm] +2xy [mm] +2y^2 [/mm] -3x -6y -15 =0
3. [mm] x^2 [/mm] +4xy [mm] +4y^2 [/mm] +x -2y =0
4. [mm] x^2 [/mm] +4xy [mm] +4y^2 [/mm] +2x +4y =0
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Danke für deine Antwort ich habe die obigen Aufgaben jetzt auch nochmal versucht zu rechnen, komme aber nich unbedingt immer weiter, kannst du mir evtl sagen wo ich falsch gelaufen bin?
1. [mm] x^2 [/mm] + 6xy + [mm] 6y^2 [/mm] +3x + 6y +1 =0 [mm] \gdw (x+3)^2 -9y^2 +6y^2 [/mm] +3x +6y +1 =0 [mm] \gdw (x+3)^2 -3y^2 [/mm] +3x +6y +1 =0
x'= x+3y [mm] \gdw [/mm] x=x'-3y und y=y'
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (x'-3y'+3y')^2 [/mm] -3y'^2 +3x' -9y' +6y' +1 = 0 [mm] \gdw [/mm] x'^2 +9x' -3y'^2 -9y' +1=0
[mm] \gdw [/mm] x'^2 +9x' -3()y'^2+3y')+1=0 [mm] \gdw (x'+3)^2-9 -3(y'+1,5)^2 [/mm] -4,5 +1=0 [mm] \gdw (x'+3)^2 -3(y'+1,5)^2 [/mm] -12,5=0
da bin ich ja schon fast bei der Hyperbelgleichung: [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 [/mm] -1 =0 nur die 12,5 verwirrt mich da jetzt, habe ich mich verrechnet oder ist es trotzdem gültig?
2. [mm] 2x^2 [/mm] +2xy [mm] +2y^2 [/mm] -3x -6y -15 =0 [mm] \gdw 2(x^2+xy+y^2) [/mm] -3x -6y-15 =0
da habe ich gerade keinerlei Ahnung wie ich hier weitervereinfachen soll
[mm] 3.x^2 [/mm] +4xy [mm] +4y^2 [/mm] +x -2y =0 [mm] \gdw (x+2y)^2 [/mm] +x -2y =0
x'=x+2y [mm] \gdw [/mm] x=x' - 2y und y=y'
[mm] \Rightarrow (x'-2y+2y)^2 [/mm] +x'-2y'-2y'=0 [mm] \gdw [/mm] x'^2 +x'-4y' =0 das ist doch jetzt auch nur fast ein Geradenpaar oder liege ich hier ganz falsch?
4. [mm] x^2 [/mm] +4xy [mm] +4y^2 [/mm] +2x +4y =0 [mm] \gdw (x+2y)^2 [/mm] +2x +4y =0
sei x'=x+2y [mm] \gdw [/mm] x=x' - 2y und y=y'
[mm] \Rightarrow [/mm] (x'-2y' +2y')+2x' -4y' +4y' = 0 [mm] \gdw [/mm] x'^2 +2x' = 0 mit x'=u [mm] \Rightarrow u^2 [/mm] + 2u = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 parallele Gerade
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Mi 26.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1
die allgemeine Hyperbelgleichung ist [mm] x^2/a^2-y^2/b^2=1 [/mm] bzw t [mm] y^2/a^2-x^2/b^2=1
[/mm]
auf die Form kannst du das bringen. [mm] x^2-y^2=1 [/mm] ist ein Sonderfall, die sog. Rechtwinklige Hyperbel-
zu 2. fang an mit 2(x+y/2(^2
zu 3. schreib es in der Form y' = ... dann siehst du was es ist!
zu 4. richtig, du solltest die 2 Geraden hinschreiben!
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Vielen dank.
zu 2. wird eine nicht so hübsche Rechnung:
[mm] 2x^2 [/mm] + 2xy [mm] +2y^2 [/mm] -3x -6y -15 = 0 [mm] \gdw [/mm] 2(x+ [mm] \frac{y}{2})^2 -\frac{y^2}{4}+2y^2 [/mm] -3x -6y -15=0 [mm] \gdw [/mm] 2(x+ [mm] \frac{y}{2})^2 +\frac{7y^2}{4} [/mm] -3x -6y -15=0
sei [mm] x'=x-\frac{y}{2} [/mm] und y=y'
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x'^2 [mm] ++\frac{7y'^2}{4} [/mm] -3x' + [mm] \frac{3y'}{2} [/mm] -6y' -15=0 [mm] \gdw [/mm] 2x'^2 [mm] +\frac{7y'^2}{4} [/mm] -3x' + [mm] \frac{9y'}{2} [/mm] -15=0 [mm] \gdw [/mm] 2x'^2 -3x' [mm] +\frac{7y'^2}{4} [/mm] + [mm] \frac{9y'}{2} [/mm] -15=0 [mm] \gdw [/mm] 2(x'^2 - [mm] \frac{3}{2}x' [/mm] ) + [mm] \frac{7}{4}(y'^2+\frac{36}{14}y')-15
[/mm]
[mm] \gdw 2(-\frac{3}{4})^2 [/mm] - [mm] \frac{9}{8}+\frac{7}{4}(y'-\frac{18}{14})^2 -\frac{81}{28} [/mm] -15 =0
so die Brüche werden auch nicht wirklich schöner, aber ich würde sagen die GLeichung deutet auf eine Ellipse hin?
zu 3. y' = [mm] \frac{x'^2}{4} [/mm] + [mm] \frac{x'}{4} [/mm] also habe ich hier zwei parallele Gerade?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Do 27.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du nicht die Achsen und die Verschiebung wissen musst, sondern nur die Art der Kurve bist du fertig, sobald du da eine Form der Art [mm] ax^2+by^2+cx+dy=e [/mm] stehen hast. dass man das mit quadratiscer Ergänzung noch machen kann ist klar. Dann hast du mit a,b>0 eine Ellipse, mit a<0, b>0 oder a>0, b<0 eine Hyperbel, mit a= 0 oder b=0 eine Parabel, und wenn du es als Produkt von 2 Geraden schreiben kannst ein Geradenpaar
zu 3, das hat doch die Form [mm] y=ax^2+bx [/mm] da solltest du wissen, dass es eine Parabel ist, wenn du die genaue lage brauchst wieder quadratische Ergänzung.
Gruss leduart
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