UG GL(2,Z5) Anzahl Elemente < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei G die von den Matrizen [mm] \pmat{ \overline{-1} & \overline{0} \\ \overline{0} & \overline{1} } [/mm] und [mm] \pmat{ \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} } [/mm] erzeugte Untergruppe der [mm] GL(2;\mathbb{Z}_5). [/mm] Zeigen Sie, dass G genau 10 Elemente hat und geben Sie diese an. Ist G isomorph zur Diedergruppe [mm] D_5? [/mm] |
Hallo,
also ich hatte schonmal ne ähnliche Aufgabe. Da habe ich das so gemacht, dass ich die Potenzen der Matrizen ausgerechnet habe (die ja zyklisch sind) und die Produkte zwischen den Elementen. Da kamen dann maximal 10 verschiedene Elemente raus.
Das war aber falsch laut Korrekteur.
Wie zeigt man denn dann die Anzahl der Elemente einer Gruppe?
Danke schonmal für Tips!
Gruß
congo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:25 Sa 10.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei G die von den Matrizen [mm]\pmat{ \overline{-1} & \overline{0} \\ \overline{0} & \overline{1} }[/mm]
> und [mm]\pmat{ \overline{1} & \overline{1} \\ \overline{0} & \overline{1} }[/mm]
Nennen wir sie mal $A$ und $B$.
> erzeugte Untergruppe der [mm]GL(2;\mathbb{Z}_5).[/mm] Zeigen Sie,
> dass G genau 10 Elemente hat und geben Sie diese an. Ist G
> isomorph zur Diedergruppe [mm]D_5?[/mm]
>
> also ich hatte schonmal ne ähnliche Aufgabe. Da habe ich
> das so gemacht, dass ich die Potenzen der Matrizen
> ausgerechnet habe (die ja zyklisch sind) und die Produkte
Es gilt [mm] $A^2 [/mm] = E = [mm] B^5$, [/mm] und dies sind die kleinsten Potenzen.
> zwischen den Elementen. Da kamen dann maximal 10
> verschiedene Elemente raus.
Prizipiell ist das richtig, aber man kann aus dieser knappen Schilderung nicht ablesen ob du es wirklich richtig gemacht hast oder eben nicht.
> Das war aber falsch laut Korrekteur.
>
> Wie zeigt man denn dann die Anzahl der Elemente einer
> Gruppe?
Wenn die Matrizen kommutieren wuerden, dann koennte die Untergruppe hoechstens $ord(A) [mm] \cdot [/mm] ord(B)$ Elemente umfassen. Das ist hier aber nicht der Fall. Es koennen also noch weitere sein.
Da $ord(A)$ und $ord(B)$ hier teilerfremd sind, muss die Untergruppe schonmal mindestens $ord(A) [mm] \cdot [/mm] ord(B)$ Elemente umfassen:
* Aus $ord(A)$ und $ord(B)$ teilerfremd folgt [mm] $\langle [/mm] A [mm] \rangle \cap \langle [/mm] B [mm] \rangle [/mm] = [mm] \{ E \}$.
[/mm]
* Zeige damit, dass [mm] $A^i B^j [/mm] = [mm] A^k B^\ell$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] i, k < ord(A)$, $0 [mm] \le [/mm] j, [mm] \ell [/mm] < ord(B)$ nur dann sein kann, falls $(i, j) = (k, [mm] \ell)$ [/mm] ist.
Wenn du ein wenig probierst, siehst du, dass alle Ergebnisse von Produkten von der Form [mm] $\pmat{ \pm 1 & \ast \\ 0 & 1 }$ [/mm] zu sein scheinen, wobei [mm] $\ast$ [/mm] ein beliebiges Element aus [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] ist. Dass dies wirklich so ist, kannst du wie folgt beweisen:
* Setze $U := [mm] \{ \pmat{ a & b \\ 0 & 1 } \mid a \in \{ -1, 1 \} , b \in \IZ/5\IZ \}$.
[/mm]
* Zeige, dass $U$ eine Untergruppe ist.
* Zeige, dass $A$ und $B$ in $U$ liegen.
Wenn du dies mit $|U| = 10$ kombinierst, siehst du, dass [mm] $\langle [/mm] A, B [mm] \rangle$ [/mm] hoechstens 10 Elemente umfassen kann. Aus obigen hingegen folgt, dass es mindestens 10 Elemente umfassen muss.
LG Felix
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