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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:40 Fr 22.04.2011 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe 1 | Sei I eine Menge und [mm] $F\subset \mathcal{P}(I)$ [/mm] (Potenzmenge)
F ist ein Ultrafilter [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] F ist maximaler Filter |
| Aufgabe 2 | | Wenn F Ultrafilter ist, dann gilt: [mm] $A\cup [/mm] B [mm] \in [/mm] F [mm] \Rightarrow A\in [/mm] F$ oder [mm] $B\in [/mm] F$ |
Hi
Zur Erinnerung:
F ist ein Filter auf I gdw. :
1) [mm] $\emptyset \notin [/mm] F$
2) wenn $X,Y [mm] \in [/mm] F$ dann auch [mm] $X\cap [/mm] Y [mm] \in [/mm] F$
3) wenn [mm] $X\in [/mm] F$ und [mm] $Y\supseteq [/mm] X$ dann ist [mm] $Y\in [/mm] F$
F ist Ultrafilter gdw. :
1) Für alle $X [mm] \subseteq [/mm] I$ ist entweder $X$ oder [mm] $I\backslash [/mm] X$ in F
Mir fehlt leider bei beiden Aufgaben der Ansatz. Könnte mir da jemand einen Tipp geben?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Mi 27.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:34 Do 28.04.2011 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | Sei S eine Menge und [mm] $\mathcal{D}\subset \mathcal{P}(I)$ [/mm] (Potenzmenge)
[mm] $\mathcal{D}$ [/mm] ist ein Ultrafilter [mm] $\Leftrightarrow$ $\mathcal{D}$ [/mm] ist maximaler Filter |
Hi
Ich habe jetzt doch Lösungen gefunden, vielleicht könnte da mal jemand drübergucken und eventuelle Fehler aufdecken?
Ich mache für jede Aufgabe eine eigene Frage damit sie einzeln überprüft werden können!
[mm] "$\Rightarrow$" [/mm]
[mm] $\mathcal{D}$ [/mm] ist Ultrafilter, und sei [mm] $A\subseteq [/mm] S$ und OE [mm] $A\in \mathcal{D}$.
[/mm]
Sei [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] ein Filter mit [mm] $\mathcal{D}\subseteq \mathcal{E}$
[/mm]
Wir nehmen an, dass [mm] $\mathcal{E} \backslash \mathcal{D} \neq \emptyset$, [/mm] und $B [mm] \in \mathcal{E} \backslash \mathcal{D}$. [/mm]
Da [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] Filter und $A,B [mm] \in \mathcal{E}$ [/mm] muss gelten: [mm] $A\cap [/mm] B [mm] \in \mathcal{E}$, [/mm] aber [mm] $A\cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] (Widerspruch dazu, dass die leere Menge nicht in einem Filter enthalten sein darf)
[mm] $\Rightarrow \mathcal{E} \backslash \mathcal{D} [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow \mathcal{E} [/mm] = [mm] \mathcal{D}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \mathcal{D}$ [/mm] maximal
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] will ich hier nicht zeigen, da ich das in einem Buch gefunden habe, müsste also richtig sein
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 01.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:44 Do 28.04.2011 | | Autor: | algieba |
| Aufgabe | | Wenn [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] Ultrafilter ist, dann gilt: [mm] $A\cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{D} \Rightarrow A\in \mathcal{D}$ [/mm] oder [mm] $B\in \mathcal{D}$ [/mm] |
Es gilt [mm] $A\cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{D}$
[/mm]
Sei OE $A [mm] \notin \mathcal{D}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow S\backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{D}$
[/mm]
Da [mm] $\mathcal{D}$ [/mm] Filter muss gelten:
[mm] $(S\backslash [/mm] A) [mm] \cap (A\cup [/mm] B) = B [mm] \backslash [/mm] A [mm] \in \mathcal{D}$
[/mm]
Da $(B [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \subset [/mm] B$ folgt $B [mm] \in \mathcal{D}$
[/mm]
Jetzt bin ich mir nicht sicher ob ich noch zeigen muss, dass auch beide (also A UND B) in $ [mm] \mathcal{D}$ [/mm] enthalten sein können. Das wäre nicht sehr schwer, aber ist das überhaupt nötig?
Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 01.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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