Ultrafilter, maximaler Filter < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Beweisen Sie, dass ein Filter [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] auf $I$ genau dann ein Ultrafilter ist, wenn er ein maximaler Filter auf I ist.
2) Es sei [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] ein Ultrafilter auf $I$ und [mm] $(M_i|i\in [/mm] I)$ eine Folge endlicher Mengen mit der Eigenschaft, dass
[mm] $X_n=\{i\in I| M_i\quad\text{enthält mindestens n Elemente}\}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] ein Element von [mm] $\mathcal{U}$ [/mm] ist. Beweisen Sie, dass die Menge [mm] $\prod_\mathcal{U} M_i$ [/mm] unendlich ist. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Erstmal nur zur 1).
Zu zeigen ist hier die Äquivalenz. Maximaler Filter zu sein bedeutet, dass für jeden Filter [mm] $\mathcal{F}'$ [/mm] auf $I$ mit [mm] $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'$ [/mm] bereits [mm] $\mathcal{F}=\mathcal{F}'$ [/mm] gilt.
Ich glaube die Rückrichtung habe ich bereits zeigen können:
Angenommen [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist ein maximaler Filter und [mm] $X\notin\mathcal{F}$. [/mm]
Zeige: [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}$
[/mm]
(Denn neben den "normalen" Filter-Eigenschaften gilt für einen Ultrafilter ja noch zusätzlich, dass für alle [mm] $X\subset [/mm] I$ [mm] ($\mathcal{F}$ [/mm] ist ein Filter auf $I$) gilt [mm] $X\in\mathcal{F}$ [/mm] oder [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}$)
[/mm]
Da [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein maximaler Filter ist, und [mm] $\mathcal{F}\neq\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] gilt, dass [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] kein Filter ist und daher auch endliche Schnitte von Elementen von [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] kein Element von [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] sind.
Also existiert ein [mm] $Y\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $X\cap Y=\emptyset$.
[/mm]
Damit ist [mm] $Y\subseteq I\setminus [/mm] X$, somit [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}$
[/mm]
Geht das so in Ordnung?
Nun zu der Hinrichtung, die wahrscheinlich schwerer ist.
Denn hier muss ich zeigen, dass etwas maximal ist. Und wie es bei maximalen Dingen nunmal der Fall ist, werde ich wohl Zorns Lemma gebrauchen müssen.
Doch daran scheitere ich.
Zorns Lemma besagt ja, dass jede halbgeordnete Menge, in der jede totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
Die Frage die sich mir stellt ist, wie ich auf beliebigen Mengen eine totale Ordnung definieren kann. Über die Mengen und ihre Elemente ist ja nicht bekannt. Ein Filter enthält ja Mengen als Elemente. Ich müsste diese Mengen also irgendwie vergleichen können und dann zeigen, dass jede jede Teilmenge von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine obere Schranke hat.
Über Korrekturen, Tipps und Anregungen würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mo 04.05.2015 | | Autor: | hippias |
> 1) Beweisen Sie, dass ein Filter [mm]\mathcal{F}[/mm] auf [mm]I[/mm] genau
> dann ein Ultrafilter ist, wenn er ein maximaler Filter auf
> I ist.
>
> 2) Es sei [mm]\mathcal{U}[/mm] ein Ultrafilter auf [mm]I[/mm] und [mm](M_i|i\in I)[/mm]
> eine Folge endlicher Mengen mit der Eigenschaft, dass
>
> [mm]X_n=\{i\in I| M_i\quad\text{enthält mindestens n Elemente}\}[/mm]
> für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] ein Element von [mm]\mathcal{U}[/mm] ist.
> Beweisen Sie, dass die Menge [mm]\prod_\mathcal{U} M_i[/mm]
> unendlich ist.
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Erstmal nur zur 1).
>
> Zu zeigen ist hier die Äquivalenz. Maximaler Filter zu
> sein bedeutet, dass für jeden Filter [mm]\mathcal{F}'[/mm] auf [mm]I[/mm]
> mit [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'[/mm] bereits
> [mm]\mathcal{F}=\mathcal{F}'[/mm] gilt.
>
> Ich glaube die Rückrichtung habe ich bereits zeigen
> können:
>
> Angenommen [mm]\mathcal{F}[/mm] ist ein maximaler Filter und
> [mm]X\notin\mathcal{F}[/mm].
> Zeige: [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}[/mm]
>
> (Denn neben den "normalen" Filter-Eigenschaften gilt für
> einen Ultrafilter ja noch zusätzlich, dass für alle
> [mm]X\subset I[/mm] ([mm]\mathcal{F}[/mm] ist ein Filter auf [mm]I[/mm]) gilt
> [mm]X\in\mathcal{F}[/mm] oder [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}[/mm])
>
> Da [mm]\mathcal{F}[/mm] ein maximaler Filter ist, und
> [mm]\mathcal{F}\neq\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm] gilt, dass
> [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm] kein Filter ist und daher auch
> endliche Schnitte von Elementen von [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm]
> kein Element von [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm] sind.
>
> Also existiert ein [mm]Y\in\mathcal{F}[/mm] mit [mm]X\cap Y=\emptyset[/mm].
>
> Damit ist [mm]Y\subseteq I\setminus X[/mm], somit [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}[/mm]
>
> Geht das so in Ordnung?
Die Idee ist gut. Der Beweis aber noch lueckenhaft. Denn die Durchschnittseigenschaft ist ja nicht die einzige Filtereigenschaft, die in [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] verletzt sein koennte. Ferner bist Du stillschweigend davon ausgegangen, dass eine der beiden Mengen, die die Durchschnittseigenschaft verletzen die Menge $X$ ist. Das koennte man noch etwas erklaeren.
Beide Luecken lassen sich aber ohne grossen Aufwand schliessen.
>
> Nun zu der Hinrichtung, die wahrscheinlich schwerer ist.
> Denn hier muss ich zeigen, dass etwas maximal ist. Und wie
> es bei maximalen Dingen nunmal der Fall ist, werde ich wohl
> Zorns Lemma gebrauchen müssen.
> Doch daran scheitere ich.
Nein, es geht ohne. Sei [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein Ultrafilter und [mm] $\mathcal{F'}$ [/mm] ein Filter, der [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] enthaelt. Zeige mit Hilfe der Ultrafiltereigenschaft, dass [mm] $\mathcal{F'}$ [/mm] nicht echt groesser als [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sein kann.
>
> Zorns Lemma besagt ja, dass jede halbgeordnete Menge, in
> der jede totalgeordnete Teilmenge eine obere Schranke hat,
> enthält mindestens ein maximales Element.
>
> Die Frage die sich mir stellt ist, wie ich auf beliebigen
> Mengen eine totale Ordnung definieren kann. Über die
> Mengen und ihre Elemente ist ja nicht bekannt. Ein Filter
> enthält ja Mengen als Elemente. Ich müsste diese Mengen
> also irgendwie vergleichen können und dann zeigen, dass
> jede jede Teilmenge von [mm]\mathcal{F}[/mm] eine obere Schranke
> hat.
>
> Über Korrekturen, Tipps und Anregungen würde ich mich
> sehr freuen.
> Vielen Dank im voraus.
>
> mfg
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> Ferner bist Du stillschweigend davon ausgegangen, dass eine der beiden
> Mengen, die die Durchschnittseigenschaft verletzen die Menge X ist.
Ich betrachte ja die Menge [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$, [/mm] dabei weiß ich, dass [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein Filter ist. Das heißt, dass wenn eine Menge die Durchschnittseigenschaft verletzt, dann muss es ja eine beliebige Menge aus [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sein und $X$. Denn wenn man nicht $X$ nimmt, dann betrachtet man ja lediglich wieder den ursprünglichen Filter.
Es kann also nur schiefgehen wenn man X betrachtet, oder sehe ich das falsch?
Die weitere Eigenschaft die verletzt werden müsste ist, dass Obermengen von Filterelementen wieder ein Element des Filters sind.
Naja, offensichtlich gilt das im allgemeinen nicht, etwa wenn ich eine Obermenge betrachte, welche X als Element enthält, dann ist diese sicherlich kein Element des Filters.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Di 05.05.2015 | | Autor: | hippias |
> > Ferner bist Du stillschweigend davon ausgegangen, dass eine
> der beiden
> > Mengen, die die Durchschnittseigenschaft verletzen die
> Menge X ist.
>
> Ich betrachte ja die Menge [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm], dabei
> weiß ich, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] ein Filter ist. Das heißt,
> dass wenn eine Menge die Durchschnittseigenschaft verletzt,
> dann muss es ja eine beliebige Menge aus [mm]\mathcal{F}[/mm] sein
> und [mm]X[/mm]. Denn wenn man nicht [mm]X[/mm] nimmt, dann betrachtet man ja
> lediglich wieder den ursprünglichen Filter.
> Es kann also nur schiefgehen wenn man X betrachtet, oder
> sehe ich das falsch?
Nein, Du siehst es voellig richtig; es sollte nur erwaehnt werden, damit es jedem klar ist.
>
> Die weitere Eigenschaft die verletzt werden müsste ist,
> dass Obermengen von Filterelementen wieder ein Element des
> Filters sind.
> Naja, offensichtlich gilt das im allgemeinen nicht, etwa
> wenn ich eine Obermenge betrachte, welche X als Element
> enthält, dann ist diese sicherlich kein Element des
> Filters.
Richtig. Nur jetzt kannst Du nicht mehr notwendig sagen: Weil [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] kein Filter ist, ist die Durchschnittseigenschaft verletzt. Erweitere also [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] so, dass notwendig die Durchschnittseigenschaft verletzt ist, aber nicht die Obermengeneigenschaft.
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> Richtig. Nur jetzt kannst Du nicht mehr notwendig sagen: Weil
> [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\} [/mm] $ kein Filter ist, ist die Durchschnittseigenschaft verletzt.
> Erweitere also $ [mm] \mathcal{F} [/mm] $ so, dass notwendig die Durchschnittseigenschaft > verletzt ist, aber nicht die Obermengeneigenschaft.
Dies verstehe ich nicht so recht.
Wieso soll ich [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] so erweiteren, dass die Durchschnittseigenschaft verletzt ist, aber die Obermengeneigenschaft immer noch gilt.
Das sollte doch gar nicht möglich sein, weil wenn ich [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] so erweiter, dass er kein Filter mehr ist, dann kann muss doch auch die Obermengeneigenschaft schiefgehen?
Wieso recht es nicht, nur über die Durchschnittseigenschaft zu argumentieren? Reicht es nicht eine Eigenschaft zu widerlegen?
Zu der Richtung:
[mm] $\mathcal{F}$ [/mm] Ultrafilter [mm] $\Rightarrow\quad \mathcal{F}$ [/mm] maximal
Sei [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ein Ultrafilter und sei [mm] $\mathcal{F}'$ [/mm] ein Filter über $I$, der [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] enthält, also [mm] $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'$.
[/mm]
Angenommen [mm] $\mathcal{F}\neq\mathcal{F}'$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $X\in [/mm] I$ mit [mm] $X\in\mathcal{F}'$ [/mm] und [mm] $X\notin\mathcal{F}$.
[/mm]
Da [mm] $X\notin\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] Ultrafilter ist [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}$ [/mm] und damit [mm] $I\setminus X\in\mathcal{F}'$. [/mm]
Damit ist aber auch [mm] $(I\setminus X)\cap X=\emptyset\in\mathcal{F}'$.
[/mm]
Widerspruch. Also muss [mm] $\mathcal{F}=\mathcal{F}'$ [/mm] gelten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Mi 06.05.2015 | | Autor: | hippias |
> > Richtig. Nur jetzt kannst Du nicht mehr notwendig sagen:
> Weil
> > [mm]\mathcal{F}\cup\{X\}[/mm] kein Filter ist, ist die
> Durchschnittseigenschaft verletzt.
> > Erweitere also [mm]\mathcal{F}[/mm] so, dass notwendig die
> Durchschnittseigenschaft > verletzt ist, aber nicht die
> Obermengeneigenschaft.
>
> Dies verstehe ich nicht so recht.
> Wieso soll ich [mm]\mathcal{F}[/mm] so erweiteren, dass die
> Durchschnittseigenschaft verletzt ist, aber die
> Obermengeneigenschaft immer noch gilt.
> Das sollte doch gar nicht möglich sein, weil wenn ich
> [mm]\mathcal{F}[/mm] so erweiter, dass er kein Filter mehr ist,
> dann kann muss doch auch die Obermengeneigenschaft
> schiefgehen?
> Wieso recht es nicht, nur über die
> Durchschnittseigenschaft zu argumentieren? Reicht es nicht
> eine Eigenschaft zu widerlegen?
Natuerlich wuerde das reichen. Nur gibt es keinen Grund zu sagen, dass [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] deswegen kein Filter ist, weil die Durchschnittseigenschaft verletzt ist. Selbst wenn fuer [mm] $\mathcal{F}\cup\{X\}$ [/mm] die Durchschnittseigenschaft nicht verletzt waere, waere es noch immer kein Filter. Alles was Du sagen kannst, ist, dass eine der Filtereigenschaften nicht erfuellt sind: die Durchschnittseigenschaft oder die Obermengeneigenschaft.
Im Fall, dass es die erste ist, folgt leicht, dass ein Ultrafilter vorliegt. Aber was ist in dem Fall, dass es nicht die erste, sondern die zweite ist?
>
> Zu der Richtung:
>
> [mm]\mathcal{F}[/mm] Ultrafilter [mm]\Rightarrow\quad \mathcal{F}[/mm]
> maximal
>
>
> Sei [mm]\mathcal{F}[/mm] ein Ultrafilter und sei [mm]\mathcal{F}'[/mm] ein
> Filter über [mm]I[/mm], der [mm]\mathcal{F}[/mm] enthält, also
> [mm]\mathcal{F}\subseteq\mathcal{F}'[/mm].
>
> Angenommen [mm]\mathcal{F}\neq\mathcal{F}'[/mm]. Dann existiert ein
> [mm]X\in I[/mm] mit [mm]X\in\mathcal{F}'[/mm] und [mm]X\notin\mathcal{F}[/mm].
> Da [mm]X\notin\mathcal{F}[/mm] und [mm]\mathcal{F}[/mm] Ultrafilter ist
> [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}[/mm] und damit [mm]I\setminus X\in\mathcal{F}'[/mm].
> Damit ist aber auch [mm](I\setminus X)\cap X=\emptyset\in\mathcal{F}'[/mm].
>
> Widerspruch. Also muss [mm]\mathcal{F}=\mathcal{F}'[/mm] gelten.
Sehr gut.
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Vielen Dank für die Hilfe.
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