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Umformen von Schachtelwurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Fr 10.07.2020
Autor: urben

Hallo,

Für einen Algorithmus in meinem Programmierprojekt habe ich folgende Terme:

[mm]a_{1} = 1 - \bruch{\wurzel{155 - \wurzel{13824 x + 10201}}}{3\wurzel{6}}[/mm]

[mm]a_{2} = 1 + \bruch{\wurzel{155 - \wurzel{13824 x + 10201}}}{3\wurzel{6}}[/mm]

[mm]x \in [0 - 1][/mm]

Ich bin aus technischen Gründen darauf angewiesen Wurzeln durch einen eigenen Algorithmus zu ziehen, was natürlich nicht so schnell ist wie die üblichen Systemfunktionen.

Aus diesem Grund will ich wenn möglich das Wurzel ziehen vermeiden. Ich versuche daher den Teilterm über dem Bruchstricht so zu verändern, dass x und Zwischenergebnisse nicht wie jetzt zweimal gewurzelt werden müssen. Wurzeln von Konstanten stören mich nicht (wie etwa unter dem Bruchstrich). Der Term darf dabei ruhig hässlicher werden solange neben der verbliebenden Wurzel nur noch Grundrechenarten vorkommen.

Mein Ansatz bisher war es den Term als []binomische Formel anzusehen, da diese, angewendet auf Wurzeln, auch Schachtelwurzeln erzeugen. Jedoch fehlen mir die Tricks diese Terme dafür zurechtzubiegen.

Hat jemand eine Idee? Oder ist das ganz unmöglich?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

EDIT:

Ich habe es mittlerweile hinbekommen den Term mit Hilfe der binomischen Formel umzuwandeln. Das hat leider jedoch nicht geholfen, x befindet sich immernoch innerhalb einer verschachtelten Wurzel, nun auch zwei mal:

[mm]a = 1 \pm \bruch{\wurzel{155 + 48 \wurzel{6} \wurzel{1 - x}} - \wurzel{155 - 48 \wurzel{6} \wurzel{1 - x}}}{6\wurzel{3}}[/mm]

        
Bezug
Umformen von Schachtelwurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Sa 11.07.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

Ziel ist es also anscheinend [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] mit möglichst wenig Wurzelziehen zu erhalten.
Aktuell benötigst du dafür 2x Wurzelziehen. Leider bekommt man das nicht weniger oft hin.

Warum?
Betrachten wir mal das Produkt und die Summe von [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2, [/mm] dann erhalten wir die beiden Gleichungen:

[mm] $a_1a_2 [/mm] = [mm] \textcolor{blue}{1 - \frac{155 - \sqrt{13824x + 10201}}{54}}$ [/mm]
[mm] $a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] = [mm] \textcolor{red}{2}$ [/mm]

Diese beiden Gleichungen sind äquivalent zur quadratische Gleichung (in z):

[mm] $z^2 [/mm] -  [mm] \textcolor{red}{2}z [/mm] + [mm] \left(\textcolor{blue}{1 - \frac{155 - \sqrt{13824x + 10201}}{54}}\right) [/mm] = 0 [mm] \quad\iff\quad [/mm] (z - [mm] 1)^2 [/mm] = [mm] \frac{155 - \sqrt{13824x + 10201}}{54}$ [/mm]

Um nun diese quadratische Gleichung zu lösen, musst du unweigerlich die Wurzel der rechten Seite ziehen, es sei denn, die rechte Seite ist ein Quadrat.
Dass dies aber für beliebige $x [mm] \in \IR$ [/mm] nicht gilt, ist offensichtlich. D.h. du bekommst zwangsweise eine Doppelwurzel.

Gruß,
Gono.


Bezug
        
Bezug
Umformen von Schachtelwurzeln: Quadratwurzeln schwierig ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Mo 13.07.2020
Autor: Al-Chwarizmi

Nur aus Interesse:

Wie kommt es denn, dass Quadratwurzeln in der Umgebung, in welcher du da etwas realisieren willst, überhaupt "problematisch" sind oder einen besonderen Aufwand erfordern ?

LG ,   Al-Chw.

Bezug
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