Umformung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Mo 25.05.2015 | | Autor: | Skyrula |
Hallo zusammen.
Ich habe nur eine kleine Frage bezüglich einer Umformung:
[mm] \frac{dr}{dt}\frac{d^2r}{dt^2}=-\gamma M\frac{dr}{dt}\frac{1}{r^2} \rightarrow \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\frac{dr}{dt})^2=-\gamma M\frac{d}{dt}(\frac{-1}{r})
[/mm]
Was wird wie umgeformt, damit die Linke Gleichung zur rechten wird?
Ich danke euch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Di 26.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen.
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> Ich habe nur eine kleine Frage bezüglich einer Umformung:
>
> [mm]\frac{dr}{dt}\frac{d^2r}{dt^2}=-\gamma M\frac{dr}{dt}\frac{1}{r^2} \rightarrow \frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\frac{dr}{dt})^2=-\gamma M\frac{d}{dt}(\frac{-1}{r})[/mm]
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> Was wird wie umgeformt, damit die Linke Gleichung zur
> rechten wird?
machen wir es andersherum: Wir rechnen die linke Seite der Gleichung nach
dem Pfeil erstmal aus:
[mm] $\frac{1}{2}*\frac{d}{dt}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2=\frac{1}{2}*2*\frac{dr}{dt}*\frac{d}{dt}\left(\frac{dr}{dt}\right)=\frac{dr}{dt}*\frac{d^2 r}{dt^2}$
[/mm]
Beachte dabei die Kettenregel und:
[mm] $\frac{d}{dt}\left(\frac{dr}{dt}\right)=\frac{d}{dt}\dot{r}(t)=\ddot {r}(t)=\frac{d^2 r(t)}{dt^2}$
[/mm]
Wir sehen somit in
[mm]\red{\frac{dr}{dt}\frac{d^2r}{dt^2}}=-\gamma M\frac{dr}{dt}\frac{1}{r^2} \rightarrow \red{\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(\frac{dr}{dt})^2}=-\gamma M\frac{d}{dt}(\frac{-1}{r})[/mm]
die Gleichheit der roten Terme (ich habe nur von rechts nach links gerechnet).
Und nun rechnen wir auch die ganz rechte Seite zurück (wieder [mm] $r=r(t)\,$):
[/mm]
[mm] $\frac{d}{dt}\left(\,-\,\frac{1}{r}\right)=\frac{1}{r^2}*\dot{r}=\,+\,\frac{1}{r^2}*\frac{dr}{dt}$ [/mm]
Auch das ist nichts anderes als die Kettenregel.
P.S. Wenn man das Ganze anders schreibt, sieht man es vielleicht besser:
[mm] $\frac{dr}{dt}*\frac{d^2r}{dt^2}=\dot{r}*\ddot{r}=\frac{1}{2}*\frac{d}{dt}\left((\dot{r})^2\right)$,
[/mm]
denn nach der Kettenregel ist
[mm] $\frac{d}{dt}\left((\dot{r})^2\right)=2*(\dot{r})*(\dot{\dot{r}})=2*\dot{r}*\ddot{r}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Di 26.05.2015 | | Autor: | Skyrula |
Ich danke dir! Super tolle Erklärung!
Lieben Gruß
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