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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Di 06.01.2009 | | Autor: | zakzero |
| Aufgabe | | Für welche n arbeitet ein Algorithmus mit Zeitbedarf [mm] 256*n^2 [/mm] auf der gleichen Maschine schneller als ein Algorithmus mit Zeitbedarf [mm] 2^n, [/mm] für welche n arbeitet er langsamer? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hallo,
meine Frage kommt eigentlich aus der Informatik, jedoch muss man das Problem mithilfe Mathematischer Mittel lösen. Im Prinzip muss man nur den Schnittpunkt der beiden Algorithmen suchen, damit man angeben kann, wann welches n schneller/langsamer ansteigt.
Schnittpunktsuche durch Gleichsetzen:
[mm] 256*n^2=2^n; n\in \IN
[/mm]
Mein Problem liegt darin, dass n einmal als Exponent und einmal als Basis auftritt. Bisher habe ich probiert es zu logarithmieren [mm] (16=\bruch{n}{ln(n)}) [/mm] und an Newton habe ich (erfolglos) auch schon gedacht.
Das Ergebnis habe ich grafisch schon ermitteltt S(16/65536).
Was ich bräuchte wäre ein kleiner (auch gern ein großer) denkanstoß. Falls ich die ganze fragestellung schon falsch interpretiert habe (kann ja immer sein) dann wäre auch hier ein Hinweis nett :).
Vielen Dank füs lesen,
LG Zakzero
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Für welche n arbeitet ein Algorithmus mit Zeitbedarf
> [mm]256*n^2[/mm] auf der gleichen Maschine schneller als ein
> Algorithmus mit Zeitbedarf [mm]2^n,[/mm] für welche n arbeitet er
> langsamer? Begründen Sie Ihre Antwort.
> Hallo,
>
> meine Frage kommt eigentlich aus der Informatik, jedoch
> muss man das Problem mithilfe Mathematischer Mittel lösen.
> Im Prinzip muss man nur den Schnittpunkt der beiden
> Algorithmen suchen, damit man angeben kann, wann welches n
> schneller/langsamer ansteigt.
>
> Schnittpunktsuche durch Gleichsetzen:
>
> [mm]256*n^2=2^n; n\in \IN[/mm]
Ja, das ist richtig und wird funktionieren.
> Mein Problem liegt darin, dass n einmal als Exponent und
> einmal als Basis auftritt. Bisher habe ich probiert es zu
> logarithmieren [mm](16=\bruch{n}{ln(n)})[/mm] und an Newton habe ich
> (erfolglos) auch schon gedacht.
Durch Umformungen wirst du wahrscheinlich nicht zum Ergebnis kommen, weil solche Gleichungen, wo die Unbekannte sowohl in einem Polynom [mm] (n^{2}) [/mm] als auch im Exponent vorkommt [mm] (2^{n}), [/mm] nicht elementar gelöst werden können.
Du musst wahrscheinlich ein bisschen "spielen".
> Das Ergebnis habe ich grafisch schon ermitteltt
> S(16/65536).
>
> Was ich bräuchte wäre ein kleiner (auch gern ein großer)
> denkanstoß. Falls ich die ganze fragestellung schon falsch
> interpretiert habe (kann ja immer sein) dann wäre auch hier
> ein Hinweis nett :).
Es ist zum Beispiel
$256 = [mm] 2^{8}$
[/mm]
und somit
[mm] $256*n^{2} [/mm] = [mm] 2^{n} \gdw 2^{8}*n^{2}=2^{n} \gdw n^{2} [/mm] = [mm] 2^{n-8}$
[/mm]
Da [mm] $n\in\IN$, [/mm] aber [mm] $2^{n-8} \le [/mm] 1$ für n<9, scheiden diese aus. Es bleibt $n > 8$ zu untersuchen. Nun kann man auch sehr schön sehen, dass $n$ nur eine Potenz von 2 sein kann:
[mm] $n^{2} [/mm] = [mm] 2^{n-8} \gdw [/mm] n = [mm] 2^{\bruch{1}{2}*n-4}$
[/mm]
(n muss gerade sein.)
Nun probiert man aus... Die erste Zahl, die man Einsetzen kann ist
$n = 16 = 2*2*2*2$,
weil ja n > 8 schon aus den Überlegungen hervorgegangen ist. Dann hat man die Lösung.
Grüße,
Stefan.
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