Umformung, Additionstheoreme < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Di 17.08.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich möchte den folgenden Ausruck
[mm] $\cos\left(\frac{1}{2}\arccos\left(\frac{\delta}{\sqrt{\delta^2+(c\cdot n)^2}}\right)\right)$
[/mm]
mit
[mm] $\delta\in\IR$, $\delta>0$, $c\in\IR$, $c\neq [/mm] 0$, [mm] $n\in\IZ$, $-c\cdot n\geqslant [/mm] 0$
so umformen, dass er nur noch von [mm] $\delta$, [/mm] $n$ und $c$ abhängt. Dazu habe ich sämtliche Additionstheoreme bereits verwendet und es gelingt mir einfach nicht. Laut "Maple" sollte die funktionieren, doch wie? Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank
Hintergrund:
Ich habe
[mm] $q_n^2=\delta-icn=r_n\cdot e^{i\phi_n}$
[/mm]
mit
[mm] $r_n=\sqrt{\delta^2+(cn)^2}$
[/mm]
[mm] $\phi_n=\begin{cases}\arccos\left(\frac{\delta}{r_n}\right) &\text{, }-cn\geqslant 0\\2\pi-\arccos\left(\frac{\delta}{r_n}\right) &\text{, }-cn<0\end{cases}$
[/mm]
wobei
[mm] $\delta\in\IR$, $\delta>0$, $c\in\IR$, $c\neq [/mm] 0$, [mm] $n\in\IZ$
[/mm]
Ziel: Bestimme diejenigen [mm] $q_n$, [/mm] die die obige Gleichung erfüllen. Für $k=0,1$ erhalte ich
[mm] $q_n^{(k)}=\sqrt{q_n^2}=\sqrt{r_n}e^{i\frac{\phi_n+2k\pi}{2}}=\sqrt{r_n}e^{i\frac{\phi_n}{2}}e^{ik\pi}=\sqrt{r_n}(-1)^k\left(\cos\left(\frac{\phi_n}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\phi_n}{2}\right)\right)$
[/mm]
Oben in meiner Frage habe ich nun den Fall [mm] $-cn\geqslant [/mm] 0$ betrachtet und versuche dabei den Realteil der letzten Formelzeile zu bestimmen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Di 17.08.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Denny!
Verwende hier eine der ![[]](/images/popup.gif) Halbwinkelformeln mit:
[mm] $$\cos\left(\bruch{z}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{\bruch{1+\cos(z)}{2}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Di 17.08.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hey Loddar,
das ging ja so schnell, dass mir die Frage und die viele Zeit, die ich dafür aufgewendet habe, beinahe peinlich ist 
Vielen Dank.
Kurze Rückfrage habe ich aber noch: Wonach richtet sich das Vorzeichen? Wann wird plus und wann minus verwendet?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Di 17.08.2010 | | Autor: | abakus |
> Hey Loddar,
>
> das ging ja so schnell, dass mir die Frage und die viele
> Zeit, die ich dafür aufgewendet habe, beinahe peinlich ist
>
>
> Vielen Dank.
>
> Kurze Rückfrage habe ich aber noch: Wonach richtet sich
> das Vorzeichen? Wann wird plus und wann minus verwendet?
Hallo,
für manche Winkel (welche?) ist der Kosinus nun mal positiv, für andere negativ.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Mi 18.08.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Abakus,
super, vielen Dank. Jetzt habe ich verstanden.
Gruss
|
|
|
|
