Umformung System von DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Sa 07.01.2012 | | Autor: | helene |
Hallo Zusammen,
im Zuge meiner Vorbereitungen auf eine mündliche Staatsprüfung bin ich auf folgendes Problem gestoßen:
Ich kann ja jede DGL n-ter Ordnung in ein System von n Gleichungen von DGLen 1. Ordnung überführen.
Aber kann ich auch jedes System von DGL 1.Ordnung auf eine Gleichung n-ter Ordnung überführen?
Habe hierzu ein Rechenbeispiel:
x´=y+3
y´=x+y
Ich forme um:
y=x´-3
y´=x´´=x+y
also erhalte ich die DGL 2. Ordnung
x´´-x´-x+3=0
wenn ich das aber wieder in ein System überführen würde, erhalte ich:
u´=v
v´=v+u+3
Also kann ich wahrscheinlich nicht jedes beliebige System auf eine Gleichung umformen.
Gibt es da irgendwelche Regeln, wann es funktioniert und wann nicht? Habe bis jetzt noch keine Kriterien gefunden.
Vielen Dank für die Hilfe.
Lg Helene
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Hallo,
> Hallo Zusammen,
> im Zuge meiner Vorbereitungen auf eine mündliche
> Staatsprüfung bin ich auf folgendes Problem gestoßen:
>
> Ich kann ja jede DGL n-ter Ordnung in ein System von n
> Gleichungen von DGLen 1. Ordnung überführen.
>
> Aber kann ich auch jedes System von DGL 1.Ordnung auf eine
> Gleichung n-ter Ordnung überführen?
>
> Habe hierzu ein Rechenbeispiel:
> x´=y+3
> y´=x+y
>
> Ich forme um:
> y=x´-3
> y´=x´´=x+y
>
> also erhalte ich die DGL 2. Ordnung
> x´´-x´-x+3=0
> wenn ich das aber wieder in ein System überführen
> würde, erhalte ich:
> u´=v
> v´=v+u+3
>
> Also kann ich wahrscheinlich nicht jedes beliebige System
> auf eine Gleichung umformen.
>
> Gibt es da irgendwelche Regeln, wann es funktioniert und
> wann nicht? Habe bis jetzt noch keine Kriterien gefunden.
> Vielen Dank für die Hilfe.
> Lg Helene
Also ich denke, systeme von DGLen, die sich in eine einzelnen DGL höherer Ordnung transformieren lassen, sind eine ziemliche ausnahme. Transformiert man anders herum eine beliebige DGL in ein system erster ordnung, hat dieses system ja eine sehr spezielle struktur. Das legt nahe, dass die menge der systeme erster ordnung, die sich in eine einzelne gleichung umformen lassen, eine recht kleine teilmenge aller systeme ist.
Von einem entscheidungs-kriterium für systeme, wann es geht oder nicht, ist mir nichts bekannt.
gruss
matthias
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