Umformung einer Bruchgleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] b^n [/mm] - [mm] a^n [/mm] = [mm] (b-a)\cdot(b^{n-1} [/mm] + b [mm] \cdot a^{n-1} [/mm] + ... + b [mm] \cdot a^{n-2} [/mm] + [mm] a^{n-1}) [/mm] |
Hallo liebe Forummitglieder,
ich hänge grad beim Beweis, der Existenz von Wurzeln (1. Semester Bat. Mathe).
Ich komme einfach nicht auf den Trick wie oben genanntes umgeformt wurde.
Wäre überkorreckt wenn ihr mir helfen könntet :)
Danke
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Hallo CitizenCarl, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]b^n[/mm] - [mm]a^n[/mm] = [mm](b-a)\cdot(b^{n-1}[/mm] + b [mm]\cdot a^{n-1}[/mm] + ... + b
> [mm]\cdot a^{n-2}[/mm] + [mm]a^{n-1})[/mm]
> Hallo liebe Forummitglieder,
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> ich hänge grad beim Beweis, der Existenz von Wurzeln (1.
> Semester Bat. Mathe).
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> Ich komme einfach nicht auf den Trick wie oben genanntes
> umgeformt wurde.
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> Wäre überkorreckt wenn ihr mir helfen könntet :)
Noch korrekter wäre es ohne "ck". 
Für [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] b^n-a^n [/mm] immer durch (b-a) teilbar. Das ist leicht zu zeigen, entweder durch Induktion oder direkt durch Polynomdivision, die hier offenbar angewandt wurde.
Du kannst aber auch leicht rückwärts rechnen und die beiden Klammern ausmultiplizieren, um Dich zu überzeugen, dass die Identität tatsächlich korrekt ist.
Dies ist übrigens eine der Zerlegungen, die man immer wieder braucht. Es lohnt sich, sie zu kennen und anwenden zu können. Sie begegnet Dir in der Kombinatorik, der Zahlentheorie und oft unerwartet in zahlreichen Disziplinen der Mathematik. Die meisten davon kenne ich wahrscheinlich gar nicht. 
Grüße
reverend
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