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Forum "Rationale Funktionen" - Umformung einer Funktion
Umformung einer Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Umformung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Do 22.06.2017
Autor: RobKobin

Aufgabe
Eigene Anwendung (wenn gewähltes Schulniveau unpassend ist, bitte verschieben)

Hallo,

Ich habe folgende Funktion:

[mm] f_{c; n}(x)=c-\bruch{x^2}{x+n} [/mm]


Der Parameter c bestimmt den y-Achsenabschnitt, wodurch die Nullstelle wandert.
Der Parameter n verzerrt die Funktion, wodurch die Nullstelle auch wandert.

x, c und n sind reelle Zahlen größer-gleich null.

Ich möchte die Funktion zu einer anderen Funktion [mm] g_{c;u}(x) [/mm] hin verändern, sodass ich anstelle eines Parameters n einen Parameter u einsetze, der direkt die Nullstelle bestimmt. Die Funktionenschar [mm] f_{c; n}(x) [/mm] soll equvalent zur Funktionenschar [mm] g_{c;u}(x) [/mm] sein. (Wenn man das so sagen kann)


Beispiel:

[mm] f_{1; 12}(4)=0 [/mm]
soll zu
[mm] g_{1; 4}(4)=0 [/mm]
oder allgemeiner:
[mm] g_{c; u}(u)=0 [/mm]
werden.

Mir fehlt der Ansatz um [mm] g_{c; u}(x) [/mm] zu finden, kann mir jemand da einen Tipp geben?

        
Bezug
Umformung einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Do 22.06.2017
Autor: Diophant

Hallo,

dein Anliegen ist etwas schwammig formuliert und du übersiehst, dass man in der Mathematik nicht wahllos etwas umformen kann, ohne dass dies an anderer Stelle Konsequenzen hat.

Was man tun kann ist, den Funktionsterm auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen:

[mm]f(x)=c- \frac{x^2}{x+n}= \frac{c*(x+n)-x^2}{x+n}= \frac{c*n+c*x-x^2}{x+n}[/mm]

Die Nullstellen des Zählers sind (Nachrechnen!):

[mm]x_{1,2}= \frac{c \pm\sqrt{c^2+4cn}}{2}[/mm]

Jetzt könnte man

[mm]u= \frac{c +\sqrt{c^2+4cn}}{2}\ \ ;\ \ v=\frac{c -\sqrt{c^2+4cn}}{2}[/mm]

setzen und den Funktionsterm damit umschreiben zu

[mm]f(x)= -\frac{(x-u)*(x-v)}{x+n}[/mm]

Ob es das ist, was du suchst, weiß ich nicht. Dazu solltest du meiner Ansicht nach dein Anliegen noch stark präzisieren.


Gruß, Diophant
 

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Umformung einer Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Do 22.06.2017
Autor: RobKobin

Hallo, danke für die Antwort!

Bis zu den Nullstellen bin ich noch bei dir, ich habe nach längeren rumdoktorn auch diese Stellen raus. Ab dann weiß ich nicht weiter, und bei deiner letzten umgeschriebenen Funktion wunder ich mich dass da kein c mehr vorkommt.

Ich versuche mich noch einmal daran mein Problem präziser zu formulieren.

Ich habe die Funktion  [mm] f_{c; n}(x). [/mm]
In meiner Anwendung ist es hilfreich, den y-Achsen Abschnitt direkt in der Funktion angeben zu können (Parameter c). Ich möchte nun jedoch auch als Parameter angeben, wo der Graph die X Achse schneidet (Parameter u).

Was ich stattdessen nicht gebrauchen kann ist der Parameter n. Im Idealfall möchte ich n mit u und einem dazu passenden Umrechnungsfaktor ersetzen.

Ich könnte mir zu jedem gewünschten u das passende n umrechnen um an meine Funktion aus der Funktionsschar zu kommen. Ich möchte das aber nicht müssen und  [mm] f_{c; n}(x) [/mm] so umformen, dass ich u direkt angeben kann und n damit wegfällt.

Ich hoffe ich konnte mich verständlicher ausdrücken.
____

Wenn ich darüber nachdenke, kann man das Vorhaben auch so formulieren:

Aus jeder Konfiguration aus den Parametern c und n ergeben sich zwei Nullstellen. Da diese gleich weit von 0 entfernt sind, kann man diese Nullstellen [mm] u_{1; 2} [/mm] auch [mm] $\pm [/mm] u$ nennen.

Man könnte nun die Beziehung zwischen den Parametern auch als weitere Funktion ausdrücken:

[mm] n_{c}(\pm [/mm] u)
[mm] (n_{c}(+u)=n_{c}(-u)) [/mm]

Diese Funktion erzeugt aus der gewünschten Nullstelle u und dem Parameter c den bereits in der Grundformel vorkommenden Parameter n.

So wird aus der ursprünglichen Funktion

$ [mm] f_{c; n}(x)=c-\bruch{x^2}{x+n} [/mm] $

Die verkettete Funktion

$ [mm] f_{c}(x)=c-\bruch{x^2}{x+n_{c}(\pm u)} [/mm] $

Wenn ich jetzt weiß, wie [mm] n_{c}(\pm [/mm] u) genau aussieht, bin ich am Ziel. Ich nehme mal an diese Schreibweise ist falsch und erzeugt wieder Unverständnis, aber vielleicht dringt durch was ich suche.

Gruß


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Umformung einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Do 22.06.2017
Autor: RobKobin

Ich habe eine Idee:

Ich setze meine Ursprungsfunktion gleich null. x wird damit zu u. Das stelle ich nach n um und setze das in meine Funktion:

[mm] f(x)= c-\bruch{x^2}{x+\bruch{u^2-uc}{c}} [/mm]

Ich überprüfe nun noch, ob dies die Funktion ist die ich suche.


EDIT: Ja das ist meine Lösung. Danke trotzdem, die Frage kann nun als beantwortet markiert werden. Ich weiß nicht wie ich das mache.

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Umformung einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:02 Do 22.06.2017
Autor: RobKobin

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