Umformung einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Do 15.09.2011 | | Autor: | diab91 |
| Aufgabe | | 1 + [mm] \summe_{j=1}^{n} \summe_{k=2^{j-1}+1}^{2^{j}} \bruch{1}{2^k} [/mm] = 1 + [mm] \summe_{j=1}^{n} \bruch{2^{j}-2^{j-1}}{2^{j}} [/mm] |
Guten Morgen,
ich kann mir leider nicht erklären wie man von der linken Seite der Gleichung zur rechten gelangt. Würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
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Hallo diab91,
> 1 + [mm]\summe_{j=1}^{n} \summe_{k=2^{j-1}+1}^{2^{j}} \bruch{1}{2^k}[/mm] = 1 + [mm]\summe_{j=1}^{n} \bruch{2^{j}-2^{j-1}}{2^{j}}[/mm]
> Guten
> Morgen,
>
> ich kann mir leider nicht erklären wie man von der linken
> Seite der Gleichung zur rechten gelangt. Würde mich
> freuen, wenn mir das jemand erklären könnte.
Nutze für die innere (rechte) Reihe die Formel für die endliche geometrische Reihe:
[mm]\sum\limits_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
Dazu mache eine Indexverschiebung, damit die Reihe bei [mm]k=0[/mm] losläuft:
[mm]\sum\limits_{k=2^{j-1}+1}^{2^j}\left(\frac{1}{2}\right)^k \ = \ \sum\limits_{k=0}^{2^j\red{-\left(2^{j-1}+1\right)}}\left(\frac{1}{2}\right)^{k\red{+2^{j-1}+1}}[/mm]
[mm]=\left(\frac{1}{2}\right)^{2^{j-1}+1}\cdot{}\sum\limits_{k=0}^{2^j-2^{j-1}-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k[/mm]
Nun versuche, diesen Ausdruck mithilfe der o.e. Formel in die obige Form zu bringen.
(Ich habe es noch nicht zuende gerechnet, da ich auf dem Sprung bin, aber so sollte es klappen ...)
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Do 15.09.2011 | | Autor: | diab91 |
Hi, vielen Dank schon Mal für deine Hilfe. Habe es versucht umzuformen, komme aber an einer Stelle leider nicht weiter.
[mm] (\bruch{1}{2})^{2^{j-1}+1}*(\bruch{1-(\bruch{1}{2})^{2^{j}-2^{j-1}}}{\bruch{1}{2}}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^{2^{j-1}+1}*2*(1-(\bruch{1}{2})^{2^{j}-2^{j-1}}) [/mm] = [mm] 2*((\bruch{1}{2})^{2^{j-1}+1}-(\bruch{1}{2})^{2^{j}+1}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^{2^{j-1}}-(\bruch{1}{2})^{2^{j}}
[/mm]
Ab hier weiß ich leider nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Do 15.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Klammere doch mal [mm] 0.5^{2^{j-1}} [/mm] aus.
Viele Gruesse,
AT-Colt
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:50 Do 15.09.2011 | | Autor: | diab91 |
Dann erhalte ich: [mm] 2^{-2^{j-1}}(1-2^{-2^{j-1}}) [/mm] = [mm] 2^{-2^{j-1}}*(\bruch{2^{2^{j-1}}-1}{2^{2^{j-1}}})
[/mm]
Jetzt weiß ich leider wieder nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 17.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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