Umformung mit Verschiebungsatz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] X_1,...,X_n ~^{iid} N(\mu,\sigma_{0}^{2}), \mu \in \mathbb{R}[/mm] mit [mm]\sigma_{0}^{2} > 0 [/mm]
[mm]-n*ln(\wurzel(2*\Pi)*\sigma_0) - \frac{1}{2*\sigma_0^2}*\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2[/mm]
[mm]=-n*ln(\wurzel(2*\Pi)*\sigma_0) - \frac{1}{2*\sigma_0^2}*\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 - \frac{n}{2*\sigma_0^2}*(\mu-\bar x)^2 [/mm]
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Hallo,
ich komme nicht darauf, wie die o.g. Umformung funktioniert. Es wird [mm] \bar x - \bar x [/mm] eingefügt. Dann wird wohl die Summe auseinandergezogen. Aber das darf ich doch wegen des Quadrats nicht, oder? Anscheinend wird der Verschiebungsatz [mm] (E((X-a)^2)=Var X+(EX-a)^2) [/mm] benutzt. Den finde ich aber hier nicht.
Kann mir bitte jemand diese Umformung erklären?
Vielen Dank schon mal.
Cindy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Do 08.11.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Cindy,
Schreibe [mm] $(x_i-\mu)^2=(x_i-\bar x+\bar x-\mu)^2 [/mm] $, benutze die
binomische Formel und nutze [mm] $\sum(x_i-\bar [/mm] x)=0$ aus.
lg Luis
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Vielen Dank. Ich hatte das mit der Summe übersehen.
[mm]-n*ln(\wurzel(2*\Pi)*\sigma_0) - \frac{1}{2*\sigma_0^2}*\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2[/mm]
[mm]=-n*ln(\wurzel(2*\Pi)*\sigma_0) - \frac{1}{2*\sigma_0^2}*\sum_{i=1}^{n}(x_i+\bar x-\bar x-\mu)^2[/mm]
[mm]=-n*ln(\wurzel(2*\Pi)*\sigma_0) - \frac{1}{2*\sigma_0^2}*(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2
+2*(\bar x - \mu)*\underbrace{\sum_{i=1}^{n}(x_i- \bar x)}_{=0}
+\sum_{i=1}^{n}(\bar x-\mu)^2)[/mm]
[mm]=-n*ln(\wurzel(2*\Pi)*\sigma_0) - \frac{1}{2*\sigma_0^2}*\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2 - \frac{n}{2*\sigma_0^2}*(\mu-\bar x)^2 [/mm]
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