Umformung rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 04.11.2018 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | | Finde für die Folge [mm] a_n=(3+\wurzel{5})^n+(3-\wurzel{5})^n [/mm] eine rekursive Formel, mit der man [mm] a_{n+1} [/mm] aus [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n-1} [/mm] berechnet für n >=2. |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Umformung vorgenommen:
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] (3+\wurzel{5})*(3+\wurzel{5})^n [/mm] + [mm] (3-\wurzel{5})*(3-\wurzel{5})^n
[/mm]
= [mm] 3*(3+\wurzel{5})^n+3*(3-\wurzel{5})^n+\wurzel{5}*(3+\wurzel{5})^n-\wurzel{5}*(3-\wurzel{5})^n
[/mm]
= [mm] 3*a_n [/mm] + [mm] \wurzel{5}*((3+\wurzel{5})^n [/mm] - [mm] (3-\wurzel{5})^n)
[/mm]
[mm] =3*a_n [/mm] + [mm] \wurzel{5}*(3*((3+\wurzel{5})^{n-1} [/mm] - [mm] (3-\wurzel{5})^{n-1}) [/mm] + [mm] \wurzel{5}*a_{n-1})
[/mm]
Nun habe ich das Problem, dass immer eine Differenz in den Klammern übrig bleibt, die ich nicht durch [mm] a_n [/mm] bzw. [mm] a_{n-1} [/mm] ersetzen kann.
Habe ich mich hier verrechnet bzw. worin liegt der Trick ?
Gefühlsmäßig ist diese Formel irgendeine Variante der Fibonacci - Folge.
Danke für eure Rückmeldung.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Finde für die Folge [mm]a_n=(3+\wurzel{5})^n+(3-\wurzel{5})^n[/mm]
> eine rekursive Formel, mit der man [mm]a_{n+1}[/mm] aus [mm]a_n[/mm] und
> [mm]a_{n-1}[/mm] berechnet für n >=2.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe folgende Umformung vorgenommen:
>
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm](3+\wurzel{5})*(3+\wurzel{5})^n[/mm] +
> [mm](3-\wurzel{5})*(3-\wurzel{5})^n[/mm]
> =
> [mm]3*(3+\wurzel{5})^n+3*(3-\wurzel{5})^n+\wurzel{5}*(3+\wurzel{5})^n-\wurzel{5}*(3-\wurzel{5})^n[/mm]
> = [mm]3*a_n[/mm] + [mm]\wurzel{5}*((3+\wurzel{5})^n[/mm] -
> [mm](3-\wurzel{5})^n)[/mm]
> [mm]=3*a_n[/mm] + [mm]\wurzel{5}*(3*((3+\wurzel{5})^{n-1}[/mm] -
> [mm](3-\wurzel{5})^{n-1})[/mm] + [mm]\wurzel{5}*a_{n-1})[/mm]
>
> Nun habe ich das Problem, dass immer eine Differenz in den
> Klammern übrig bleibt, die ich nicht durch [mm]a_n[/mm] bzw.
> [mm]a_{n-1}[/mm] ersetzen kann.
> Habe ich mich hier verrechnet bzw. worin liegt der Trick ?
>
> Gefühlsmäßig ist diese Formel irgendeine Variante der
> Fibonacci - Folge.
>
> Danke für eure Rückmeldung.
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
Es ist schwierig, durch direkte Umformung auf die Lösung zu kommen. Am besten rechnet man [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_n [/mm] so aus, dass man nur Klammern mit Exponenten (n-1) erhält:
[mm] a_{n+1}=(3+\wurzel{5})^{n+1}+(3-\wurzel{5})^{n+1}=(3+\wurzel{5})^2(3+\wurzel{5})^{n-1}+(3-\wurzel{5})^2(3-\wurzel{5})^{n-1}=(9+6\wurzel{5}+5)(3+\wurzel{5})^{n-1}+(9-6\wurzel{5}+5)(3-\wurzel{5})^{n-1}=(14+6\wurzel{5})(3+\wurzel{5})^{n-1}+(14-6\wurzel{5})(3-\wurzel{5})^{n-1}
[/mm]
[mm] a_n [/mm] = [mm] (3+\wurzel{5})(3+\wurzel{5})^{n-1}+(3-\wurzel{5})(3-\wurzel{5})^{n-1}
[/mm]
[mm] a_{n-1}= (3+\wurzel{5})^{n-1}+(3-\wurzel{5})^{n-1}
[/mm]
Um nun bei [mm] a_{n+1}=(14+6\wurzel{5})(3+\wurzel{5})^{n-1}+(14-6\wurzel{5})(3-\wurzel{5})^{n-1} [/mm] in den Vorfaktoren [mm] 6\wurzel{5} [/mm] aus den Vorfaktoren zu bekommen, musst du 6 mal [mm] a_n [/mm] nehmen:
[mm] 6a_n=(18+6\wurzel{5})(3+\wurzel{5})^{n-1}+(18-6\wurzel{5})(3-\wurzel{5})^{n-1}
[/mm]
Jetzt hast du aber im Vorfaktor immer 18 statt 14 stehen, also 4 zuviel. Wenn du davon nun [mm] 4a_{n-1} [/mm] abziehst, erhältst du genau das gewünschte Ergebnis. Also:
[mm] a_{n+1}=6a_n-4a_{n-1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 So 04.11.2018 | | Autor: | rubi |
Hallo HJKweseleit,
geniale Lösung - vielen Dank.
Da wäre ich vermutlich nicht selbst draufgekommen.
Du hast mir schon viele Male hier im matheraum geholfen - deine Antworten waren immer hilfreich und auch so ausführlich erklärt, dass ich es verstanden hatte.
Viele Grüße
Rubi
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