Umformungen beim Beweisen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 So 19.09.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
ich moechte gerne folgende Behauptung indirekt beweisen:
"Ist das Quadrat einer ganzen Zahl gerade, so ist auch die Zahl selbst gerade".
Also:
[mm]\forall z \in \IZ \exists k \in \IN : z^2=2k \Rightarrow \exists k' \in \IZ : z=2k'[/mm]
Um das indirekt zu beweisen, muss ich nun ja die Behauptung negieren, also aus [mm]z=2k'[/mm] wird [mm]z=2k'+1[/mm]. In der Loesung, die ich hier habe, steht dann
[mm]\forall z \in \IZ \exists k \in \IN: z^2=2k \wedge \exists k' \in \IZ : z=2k'+1[/mm].
Wieso wird aber aus der Implikation ploetzlich eine Und-Verknuepfung? Das wuerde durch die All-Aussage doch bedeuten, dass das Quadrat _aller_ ganzen Zahlen gerade ist, oder?
Noch eine Frage zur Umformung. Angenommen ich habe die Gleichung
[mm]2k=4k'^2+4k'+1[/mm].
Ist die Umformung
[mm]\gdw 2k=2(\underbrace{2k'^2+2k'}_{=:k''})+1 \gdw \exists k'' : 2k''+1=2k[/mm]
dann wirklich logisch aequivalent oder muesste es eher eine Implikation sein, da ich doch von [mm]k''[/mm] nicht mehr auf [mm]2k'^2+2k'[/mm] schliessen kann.
Danke (wiedermal) fuer Eure Muehe!
MfG Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 So 19.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael!
> [mm]\forall z \in \IZ \exists k \in \IN : z^2=2k \Rightarrow \exists k' \in \IZ : z=2k'[/mm]
> Um das indirekt zu beweisen, muss ich nun ja die Behauptung
> negieren, also aus [mm]z=2k'[/mm] wird [mm]z=2k'+1[/mm]. In der Loesung, die
> ich hier habe, steht dann
>
> [mm]\forall z \in \IZ \exists k \in \IN: z^2=2k \wedge \exists k' \in \IZ : z=2k'+1[/mm].
> Wieso wird aber aus der Implikation ploetzlich eine
> Und-Verknuepfung? Das wuerde durch die All-Aussage doch
> bedeuten, dass das Quadrat _aller_ ganzen Zahlen gerade
> ist, oder?
Also, die eigentliche Aussage ist ja:
[mm] $z^2=2k \Rightarrow \exists [/mm] k' [mm] \in \IZ [/mm] : z=2k'$.
Diese Aussage ist von der Form $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$. Sie ist genau dann wahr, wenn entweder $A$ nicht wahr ist oder wenn $A$ und $B$ beide wahr sind. Sie ist genau dann nicht wahr, wenn $A$ wahr ist und zugleich $B$ nicht wahr ist. Die Verneinung von $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ ist somit $A [mm] \wedge \neg [/mm] B$.
>
> Noch eine Frage zur Umformung. Angenommen ich habe die
> Gleichung
>
> [mm]2k=4k'^2+4k'+1[/mm].
>
> Ist die Umformung
>
> [mm]\gdw 2k=2(\underbrace{2k'^2+2k'}_{=:k''})+1 \gdw \exists k'' : 2k''+1=2k[/mm]
>
>
> dann wirklich logisch aequivalent oder muesste es eher eine
> Implikation sein, da ich doch von [mm]k''[/mm] nicht mehr auf
> [mm]2k'^2+2k'[/mm] schliessen kann.
Ja, da hast du vollkommen Recht. Hier ist das Äquivalenzzeichen falsch gesetzt. Es ist nur eine Implikation.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:35 So 19.09.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Stefan,
vielen Dank fuer Deine Hilfe! Ich habe es jetzt soweit verstanden.
MfG Michael
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mo 20.09.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Stefan,
ich bin's nochmal.
> > Noch eine Frage zur Umformung. Angenommen ich habe die
>
> > Gleichung
> >
> > [mm]2k=4k'^2+4k'+1[/mm].
> >
> > Ist die Umformung
> >
> > [mm]\gdw 2k=2(\underbrace{2k'^2+2k'}_{=:k''})+1 \gdw \exists k'' : 2k''+1=2k[/mm]
>
> >
> >
> > dann wirklich logisch aequivalent oder muesste es eher
> eine
> > Implikation sein, da ich doch von [mm]k''[/mm] nicht mehr auf
> > [mm]2k'^2+2k'[/mm] schliessen kann.
>
> Ja, da hast du vollkommen Recht. Hier ist das
> Äquivalenzzeichen falsch gesetzt. Es ist nur eine
> Implikation.
Wie kann man allgemein entscheiden, ob es sich um eine Implikation oder eine Aequivalenz handelt? Wenn ich wie im obigen Beispiel einen Ausdruck, der z.B. zwei Variablen addiert, durch eine andere Variable ersetze, ist es dann immer eine Implikation (und keine Aequivalenz), da ich der neuen Variable nicht "ansehe" was da mal urspruenglich stand oder gibt es da Ausnahmen?
Hast Du oder ein sonstiger "Matheraeumler" irgendwelche URLs, wo ich mehr darueber lesen kann?
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Mo 20.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael!
> Wie kann man allgemein entscheiden, ob es sich um eine
> Implikation oder eine Aequivalenz handelt? Wenn ich wie im
> obigen Beispiel einen Ausdruck, der z.B. zwei Variablen
> addiert, durch eine andere Variable ersetze, ist es dann
> immer eine Implikation (und keine Aequivalenz), da ich der
> neuen Variable nicht "ansehe" was da mal urspruenglich
> stand oder gibt es da Ausnahmen?
So einfach ist es leider nicht.
Nehmen wir mal die Aussagen:
[mm] $\exists [/mm] k [mm] \in \IZ\, \exists l\in \IZ\, [/mm] : [mm] \, [/mm] a=2 [mm] \cdot [/mm] (k+l)$
und
[mm] $\exists [/mm] n [mm] \in \IZ\, [/mm] : [mm] \, [/mm] a=2n$.
Diese beiden Aussagen sind logisch äquivalent, obwohl zwei Variablen durch eine ersetzt wurden. Sie sind deshalb äquivalent, weil sich jede ganze Zahl $n$ als Summe zweier anderer ganzer Zahlen $k$ und $l$ schreiben lässt.
> Hast Du oder ein sonstiger "Matheraeumler" irgendwelche
> URLs, wo ich mehr darueber lesen kann?
Ich denke nicht, dass man das irgendwo nachlesen kann. Das ist einfach eine Sache der Übung und der Erfahrung. Gehe einfach immer beide Implikationen durch und schaue ganz genau: Darf ich das wirklich aus meinen Axiomen und Voraussetzungen folgern?
Man kann das nur durch viel Übung erlernen. Aber es spielt sich mit der Zeit schon ein, da man ja im Laufe seines Studiums viele Implikationen und Äquivalenzen beweisen muss.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 20.09.2004 | | Autor: | michael7 |
Hallo Stefan,
in meinem ersten Beitrag hast Du ja geschrieben, dass folgendes keine Aequivalenz, sondern nur eine Implikation darstellt:
[mm]2k=2(\underbrace{2k'^2+2k'}_{=:k''})+1 \gdw \exists k'' : 2k''+1=2k[/mm]
Ist meine folgende Begruendung dafuer korrekt?
Falls [mm]k'' \in \IN[/mm], so kann ich mit [mm]k''[/mm] ja jede natuerliche Zahl ausdruecken. Mit [mm]2k'^2+2k'[/mm] (mit [mm]k' \in \IN[/mm]) kann ich allerdings nur 4, 12, 24, [mm]\ldots[/mm] darstellen. Also kann ich [mm]2k'^2+2k'[/mm] durch [mm]k'[/mm] ersetzen, da ich mit letzterem alle darstellbaren Werte fuer den ersten Term ausdruecken kann (und noch mehr). Andersrum kann ich allerdings nicht [mm]k'[/mm] durch [mm]2k'^2+2k'[/mm] ersetzen, da ich so z.B. 3 oder 25 nicht mehr darstellen koennte.
MfG Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Di 21.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Michael!
Deine Erklärung ist absolut perfekt. Besser hätte man es nicht formulieren können, ![[respekt2]](/images/smileys/respekt2.gif "[respekt2]") !!
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Di 21.09.2004 | | Autor: | michael7 |
OK, nochmals vielen Dank fuer Deine Hilfe! 
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