Umformungsschritt für Varianz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:55 Mi 02.06.2010 | | Autor: | Druss |
Die Varianz der geometrischen Verteilungsfunktion ist ja schon bei wikipedia hergeleitet worden und ist auch nachvollziehbar!
http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung#Varianz.
Jedoch möchte ich nun die Varianz von der Verteilungsfunktion: [mm] q^n [/mm] (1-q)
mit erwartungswert [mm] \frac{q}{1-q} [/mm] berechnen.
Die Varianz berechnet sich ja für die "normale" geometrische verteilung nach dem schema:
[mm] p\sum_{k=1}^\infty k^2\cdot (1-p)^{k-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{p^2} [/mm] und ergibt nach diversen unformungsschritten [mm] \frac{1-p}{p^2} [/mm] (siehe wikipedia)
die obige verteilungsfunktion [mm] q^n [/mm] (1-q) lässt sich nun mit q = (1-p) schreiben als
[mm] \sum_{k=1}^\infty q^k [/mm] (1-q) - [mm] [\frac{q}{1-q}]^2
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^\infty (1-p)^k [/mm] p - [mm] [\frac{1-p}{p}]^2
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^\infty (1-p)(1-p)^{k-1} [/mm] p - [mm] [\frac{1-p}{p}]^2
[/mm]
= (1-p) [mm] [p\sum_{k=1}^\infty (1-p)^{k-1}] [/mm] - [mm] [\frac{(1-p)^2}{p^2}]
[/mm]
= (1-p) [mm] [p\sum_{k=1}^\infty (1-p)^{k-1}] [/mm] - [mm] [\frac{(1-2p+p^2}{p^2}]
[/mm]
= (1-p) [mm] [p\sum_{k=1}^\infty (1-p)^{k-1}] [/mm] - [mm] [\frac{1}{p^2}-\frac{2p}{p^2} [/mm] + 1]
= (1-p) [mm] [p\sum_{k=1}^\infty (1-p)^{k-1}] [/mm] - [mm] \frac{1}{p^2}+\frac{2p}{p^2} [/mm] - 1
= (1-p) [mm] [p\sum_{k=1}^\infty (1-p)^{k-1} [/mm] - [mm] \frac{1}{p^2}]+\frac{2p}{p^2} [/mm] - 1
der eingeklammerte teil [...] müsste nun nach der obigen berechnung der varianz für eine geometrische reihe wieder [mm] \frac{1-p}{p^2} [/mm] ergeben
= (1-p) [mm] \frac{1-p}{p^2} +\frac{2p}{p^2} [/mm] - 1
= [mm] \frac{(1-p)^2}{p^2} +\frac{2p}{p^2} [/mm] - 1
= [mm] \frac{1-2p+p^2}{p^2} +\frac{2p}{p^2} [/mm] - [mm] \frac{p^2}{p^2}
[/mm]
= [mm] \frac{1-2p+p^2 +2p-p^2}{p^2}
[/mm]
= [mm] \frac{1}{p^2}
[/mm]
ersetze ich nun wieder q = (1-p) bzw p = 1-q so ergibt sich für die varianz der verteilungsfunktion [mm] q^n [/mm] (1-q)
= [mm] \frac{1}{(1-q)^2}
[/mm]
rauskommen müsste aber
= [mm] \frac{q}{(1-q)^2}
[/mm]
wo ist mein fehler??
vielen dank wenn ihr fix mal drüber schaut wo mein denkfehler steckt.
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 04.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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