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| Aufgabe | [mm] f(x)=(2x^2+x)/x [/mm] x [mm] \in R\0
[/mm]
Bei dieser Funktion ist hier sehr leicht zu erkennen. dass sich f(x) bei hinreichender Annäherung an x0=0 beliebig wenig von 1 unterscheidet:
In [mm] R\0 [/mm] sind ja die Terme f(x) und 2x+1 äuqivalent und man erhält daher für ein beliebiges ε > 0:
lf(x)-1l = l2xl<ε für alle x mit -ε/2<x<ε/2, also für alle x [mm] \in [/mm] Uε/2(0) mit Ausnahmen von x=0 selbst. |
Hi!
Ich lese mir zurzeit in einem Buch ein paar Dinge über Grenzwerte an.
Das Buch heißt 1 analysis vom Verlag bsv.
Was ich nicht verstehe, wie man -ε/2<x<ε/2 erklären soll, da doch ε lediglich die Menge bestimmter y-Werte und in einer Rechnung mit x schlecht zu vereinbaren ist und wieso l2xl<ε gilt.
Ebenfalls wäre es schön, wenn ihr mir erklären könnt, ob die Tolleranz ε nur so große y werte besitzt, wie ihr Abstand zur x-Achse oder wie der Abstand an der Linie von wo sie angesetzt ist(Parallele zur x-Achse).
Mfg Christian
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> [mm]f(x)=(2x^2+x)/x[/mm] x [mm]\in R \ 0[/mm]
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> Bei dieser Funktion ist hier sehr leicht zu erkennen. dass
> sich f(x) bei hinreichender Annäherung an [mm] x_0=0 [/mm] beliebig
> wenig von 1 unterscheidet:
> In [mm]R \ 0[/mm] sind ja die Terme f(x) und 2x+1 äuqivalent und man
> erhält daher für ein beliebiges ε > 0:
> |f(x)-1l = l2xl<ε für alle x mit
> -ε/2<x<ε/2, also für alle x [mm]\in[/mm] Uε/2(0) mit
> Ausnahmen von x=0 selbst.
> Hi!
> Ich lese mir zurzeit in einem Buch ein paar Dinge über
> Grenzwerte an.
> Das Buch heißt 1 analysis vom Verlag bsv.
> Was ich nicht verstehe, wie man -ε/2<x<ε/2
> erklären soll, da doch ε lediglich die Menge
> bestimmter y-Werte und in einer Rechnung mit x schlecht zu
> vereinbaren ist und wieso l2xl<ε gilt.
> Ebenfalls wäre es schön, wenn ihr mir erklären könnt, ob
> die Tolleranz ε nur so große y werte besitzt, wie ihr
> Abstand zur x-Achse oder wie der Abstand an der Linie von
> wo sie angesetzt ist(Parallele zur x-Achse).
> Mfg Christian
Hallo,
oben soll gezeigt werden, daß der Grenzwert von f an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] den Wert 1 hat.
Dazu wird gezeigt, daß die Funktionswerte f(x) beliebig wenig von 1 abweichen, wenn man mit dem x nur dicht genug an die Null herangeht.
Auf mathematisch gesprochen:
1 ist der grenzwert von f an der Stelle 0 genau dann, wenn gilt
Zu jeden vorgegebenen, beliebig kleinen [mm] \varepsilon [/mm] >0 findet man ein passendes [mm] \delta [/mm] (welches von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt) so, daß für alle [mm] x\not=0, [/mm] die in der [mm] \delta-Umgebung [/mm] von 0 liegen, für die also [mm] |x|<\delta [/mm] ist, gilt [mm] |f(x)-1|<\varepsilon.
[/mm]
Dies ist also zu zeigen.
Nun wird folgendes getan:
es sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig. Man wählt dazu [mm] \delta:=\bruch{varepsilon}{2} [/mm] und rechnet vor, daß für alle [mm] x\not=0 [/mm] mit [mm] |x|<\bruch{varepsilon}{2}
[/mm]
[mm] |f(x)-1|<\varepsilon [/mm] gilt. Dies gelingt, und damit ist gezeigt, daß 1 der Grenzwert der Funktion an der Stelle 0 ist.
Bei dem andeen mit der Toleranz verstehe ich nicht recht, was Du wissen willst.
Gruß v. Angela
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Wieso kann ich einfach wählen
[mm] \delta [/mm] < ε/2?
Die Frage ist, ob die Umgebung ε von einem y-Wert anhand ihres Abstands zur x-Achse oder anhande des Punktes, von dem sie die Umgebung ist, festgelegt wird.
Lg
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> Wieso kann ich einfach wählen
> [mm]\delta[/mm] < ε/2?
Hallo,
weil's damit klappt.
Wenn Du die Kombination beliebiges [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] \delta<\bruch{\varepsilon}{2} [/mm] nimmst und zeigst, daß es damit klappt, hast Du gezeigt, daß in jedem Fall ein zum [mm] \varepsilon [/mm] passendes [mm] \delta [/mm] gibt, so daß die bedingung für Konvergenz erfüllt ist.
> Die Frage ist, ob die Umgebung ε von einem y-Wert
> anhand ihres Abstands zur x-Achse oder anhande des Punktes,
> von dem sie die Umgebung ist, festgelegt wird.
Nein, das [mm] \varepsilon [/mm] bleibt zwar während der betrachtung fest, aber es hat keinen bestimmten Wert. Das wichtige ist ja, daß das, was man oben tut, mit jedem (!) (noch so kleinen) [mm] \varepsilon [/mm] klappt. Das [mm] \delta, [/mm] welches man dann aussucht, wird von der Funktion abhängen. Hier klappt es mit [mm] \delta<\bruch{\varepsilon}{2}, [/mm] weil die Funktion die Steigung 2 hat.
Gruß v. Angela
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Hi,
kannst du bitte erklären, wieso es einfach so klappt, wieso man einfach x und y Wert in eine Ungleichungschreiben darf.
Ist es vlt., weil es nicht auf den Wert (x=2 bis x=4 z.B.) ankommt, sondern nur das Intervall in abstrakten Einheiten, was die beiden Umgebungen umfassen? Also, dass man davon absieht ob es x oder y werte sind, sondern nur die Größe der Intervalle betrachtet.
Mfg Christian
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> kannst du bitte erklären, wieso es einfach so klappt, wieso
> man einfach x und y Wert in eine Ungleichungschreiben darf.
> Ist es vlt., weil es nicht auf den Wert (x=2 bis x=4 z.B.)
> ankommt, sondern nur das Intervall in abstrakten
> Einheiten, was die beiden Umgebungen umfassen? Also, dass
> man davon absieht ob es x oder y werte sind, sondern nur
> die Größe der Intervalle betrachtet.
Hallo,
es wäre sicher hilfreich, wenn Du in Deinem Profil etwas eintragen würdest.
Ohne Deinen Hintergrund zu kennen, ist es schwer, passend zu antworten.
Was weißt Du denn über Grenzwerte und Steigkeit?
Vielleicht habe ich mich oben etwas schwammig ausgedrückt.
Es wird gezeigt, daß für sämtliche x, die in der besagten [mm] \delta- [/mm] Umgebung von 0 liegen, die zugehörigen Funktionswerte (also y-Werte) nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von der 1 entfernt sind.
Gruß v. Angela
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Alles ok, habs kappiert,
vielen Dank,
Lg Chris
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