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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Für die Umkehrbare Funktion f mit f(x) = x + [mm] x^3 [/mm] kann man die Ableitung der der Umkehrfunktion f an manchen Stellen berechnen, ohne die Umkehfunktion f zu kennen.
Berechnen Sie : Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle f'(0); f'(2); f'(-10) |
Hier stehe ich mal wieder total auf dem Schlauch.
Eben konnte ich wenigstens noch die Umkehrfunktion bilden, aber nichtmal das schaffe ich hier mehr :(
Ich weiß das ist nicht die Aufgabe, aber ich weiß auch ehrlich gesagt nicht wie ich Ableiten soll, ohne die Umkehrfunktion zu kennen.
Ich habe um die Umkehrfunktion zu finden folgendes gemacht :
F (x) = x+ [mm] x^3
[/mm]
Dann habe ich y und x ausgetauscht :
x = y + [mm] y^3 [/mm]
Aber wenn ich jetzt nach y auflösen möchte komme ich gar nicht weiter :(
Wäre lieb wenn ihr mir helft.
Vielleicht könnt mir ja auch sagen, wie man ohne die Umkehfunktion zu kennen Ableiten kann.
Dankeschön.
MfG
Kristof
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Walde |
hi Kristof,
das geht mit der Formel über die Ableitung der Umkehrfunktion.
Die Ableitung der Umkehrfunktion an der Stelle [mm] f(x_0) [/mm] ist:
[mm] (f^{-1})'(f(x_0))=\bruch{1}{f'(x_0)}
[/mm]
Du musst also f ableiten. Die [mm] x_0 [/mm] rausfinden (die müssen und sind es auch eindeutig sein), bei denen [mm] f(x_0)=0, [/mm] 2 bzw. -10 gilt. Und dann einsetzen.
Bsp:
f(1)=2 (und es gibt auch kein anderes [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f(x_0)=2, [/mm] das ist wichtig, sonst ist f an der Stelle nicht umkehrbar)
[mm] f'(x)=3x^2+1
[/mm]
[mm] f'(x_0)=3*1^2+1=4
[/mm]
Und mit der Formel gilt:
[mm] (f^{-1})'(2)=\bruch{1}{4}
[/mm]
Und das ohne [mm] f^{-1} [/mm] zu kennen.
Alles klar?
L G walde
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