Umkehrabbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien M und N Mengen und es sei f: M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Eine Umkehrabbildung von f ist eine Abbildung g: N [mm] \to [/mm] M, für die g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_M [/mm] und f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_N [/mm] gilt. Zeigen Sie:
a) Es ist f genau dann injektiv, wenn [mm] M=\emptyset [/mm] ist oder eine Abbildung g : N [mm] \to [/mm] M existiert mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_M.
[/mm]
b) Es ist f genau dann surjektiv, wenn eine Abbildung g: N [mm] \to [/mm] M existiert mit f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_N.
[/mm]
c) Die Abbildung f ist genau dann bijektiv, wenn sie eine Umkehrabbildung besitzt.
d) Die Umkehrabbildung zu f ist eindeutig bestimmt. |
Hallo, hab ein paar Zweifel bei dieser Aufgabe, wär super wenn sich jemand mal meinen Lösungsversuch ansehen könnte. Schon mal danke im Voraus.
Zu a)
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei f injektiv, dann gibt es zu jedem y [mm] \in [/mm] N höchstens ein [mm] x_y \in [/mm] M mit [mm] f(x_y)=y. [/mm]
Wähle ein festes [mm] x_0 \in [/mm] M. Nun lässt sich eine Abbildung g: N [mm] \to [/mm] M konstruieren, die jedem y [mm] \in [/mm] f(M) sein Urbild [mm] x_y \in [/mm] M zuordnet, ist aber y [mm] \in [/mm] N \ f(M) gilt g(y) = [mm] x_0. [/mm] Dann gilt für alle x [mm] \in [/mm] M
(g [mm] \circ [/mm] f)(x) = g(f(x)) = [mm] x_{f(x)} [/mm] = x = [mm] id_{M}(x).
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei g: N [mm] \to [/mm] M mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_M [/mm] und seien [mm] x_1,x_2 \in [/mm] M mit [mm] f(x_1) [/mm] = [mm] f(x_2).
[/mm]
Dann gilt
[mm] x_1 [/mm] = [mm] id_M(x_1) [/mm] = (g [mm] \circ f)(x_1) [/mm] = [mm] g(f(x_1)) [/mm] = [mm] g(f(x_2)) [/mm] = (g [mm] \circ f)(x_2) [/mm] = [mm] id_M(x_2) [/mm] = [mm] x_2
[/mm]
Da also [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] ist f injektiv.
Ich glaube die Hinrichtung ist etwas schwammig, oder? Und ich weiß leider nicht wie ich das mit [mm] M=\emptyset [/mm] machen soll und bräuchte da mal einen Ansatz.
b)
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei f surjektiv, dann gibt es zu jedem y [mm] \in [/mm] N mindestens ein [mm] x_y \in [/mm] M mit [mm] f(x_y) [/mm] = y.
Definiere nun eine Abbildung g: N [mm] \to [/mm] M, y [mm] \mapsto x_y. [/mm] Dann gilt für y [mm] \in [/mm] N:
(f [mm] \circ [/mm] g)(y) = f(g(y)) = [mm] f(x_y) [/mm] = y = [mm] id_N(y).
[/mm]
Da y beliebig war, folgt f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_N
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei nun g: N [mm] \to [/mm] M mit f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_N. [/mm] Definiere nun x:=g(y) [mm] \in [/mm] M für y [mm] \in [/mm] N, dann gilt
y = [mm] id_N(y) [/mm] = f(g(y)) = f(x). Also gilt insbesondere y [mm] \in [/mm] f(M), also ist f surjektiv.
c)
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei f bijektiv, dann ist f nach Definition injektiv und surjektiv, d.h. es existiert eine Abbildung g: N [mm] \to [/mm] M für die nach a) gilt g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_M [/mm] und nach b) f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_N, [/mm] also ist g = [mm] f^{-1}
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei [mm] f^{-1} [/mm] die Umkehrabbildung von f, es gilt also [mm] f^{-1} \circ [/mm] f = [mm] id_M [/mm] und f [mm] \circ f^{-1} [/mm] = [mm] id_N, [/mm] nach a) und b) ist f damit injektiv und surjektiv, also bijektiv.
d)
Angenommen [mm] f^{-1} [/mm] wäre nicht eindeutig, dann gibt es eine weitere Umkehrabbildung h von f. Dann gilt
[mm] f(f^{-1}(x)) [/mm] = (f [mm] \circ f^{-1})(x) [/mm] = x = (f [mm] \circ [/mm] h)(x) = f(h(x)), es gilt also [mm] f(f^{-1}(x)) [/mm] = f(h(x)), da f aber injektiv ist, folgt [mm] f^{-1}(x) [/mm] = h(x), also [mm] f^{-1}=h.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mi 14.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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