Umkehrabbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Fr 12.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Ist f:X-->Y eine Bijektion mit Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] und B [mm] \subset [/mm] Y beliebig,so kann die Notation [mm] "f^{-1}(B)" [/mm] die Bildmenge B unter [mm] f^{-1},aber [/mm] auch die Urbildmenge von B unter f bezeichnen.Man zeige jedoch,dass diese beiden Mengen übereinstimmen. |
Hallo,
ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen,bin aber an einer Stelle nicht mehr weitergekommen,ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Also wenn [mm] f^{-1}(B) [/mm] die Bildmenge B unter [mm] f^{-1} [/mm] ist,dann ist [mm] f^{-1}(B)=\{f^{-1}(y)|y \in B\}.Ist f^{-1}(B) [/mm] die Urbildmenge von B unter f,dann ist [mm] f^{-1}(B)=\{x \in X: f(x) \in B \}
[/mm]
Ich soll jetzt zeigen,dass [mm] f^{-1}(B)=\{f^{-1}(y)|y \in B\}=\{x \in X: f(x) \in B\} [/mm] bzw. [mm] f^{-1}(B)=\{x \in X: f(x) \in B\}=\{f^{-1}(y)|y \in B\}.Ich [/mm] hab so angefangen:
[mm] f^{-1}(B)=\{x \in X: f(x) \in B\}= \{x \in X: f(y) \in X, y \in B\}
[/mm]
Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter.Kann mir jemand einen Tipp geben,wie ich weitermachen kann?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ist f:X-->Y eine Bijektion mit Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] und B
> [mm]\subset[/mm] Y beliebig,so kann die Notation [mm]"f^{-1}(B)"[/mm] die
> Bildmenge B unter [mm]f^{-1},aber[/mm] auch die Urbildmenge von B
> unter f bezeichnen.Man zeige jedoch,dass diese beiden
> Mengen übereinstimmen.
> Hallo,
>
> ich habe versucht diese Aufgabe zu lösen,bin aber an einer
> Stelle nicht mehr weitergekommen,ich hoffe ihr könnt mir
> weiterhelfen.
>
> Also wenn [mm]f^{-1}(B)[/mm] die Bildmenge B unter [mm]f^{-1}[/mm] ist,dann
> ist [mm]f^{-1}(B)=\{f^{-1}(y)|y \in B\}.Ist f^{-1}(B)[/mm] die
> Urbildmenge von B unter f,dann ist [mm]f^{-1}(B)=\{x \in X: f(x) \in B \}[/mm]
>
> Ich soll jetzt zeigen,dass [mm]f^{-1}(B)=\{f^{-1}(y)|y \in B\}=\{x \in X: f(x) \in B\}[/mm]
> bzw. [mm]f^{-1}(B)=\{x \in X: f(x) \in B\}=\{f^{-1}(y)|y \in B\}.Ich[/mm]
> hab so angefangen:
>
> [mm]f^{-1}(B)=\{x \in X: f(x) \in B\}= \{x \in X: f(y) \in X, y \in B\}[/mm]
Die rechte Menge ist doch Quark !!!
Sei [mm] $L:=\{x \in X: f(x) \in B\}$ [/mm] und $R:= [mm] \{f^{-1}(y)|y \in B\}$
[/mm]
Ich zeige Dir mal die Inklusion $L [mm] \subseteq [/mm] R$ (die umgekehrte Inklusion versuchst Du dann selbst)
Sei $x [mm] \in [/mm] L$. Dann ist $y:=f(x) [mm] \in [/mm] B$. Somit: $x = [mm] f^{-1}(y) \in [/mm] R$
FRED
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> Aber irgendwie komme ich hier nicht weiter.Kann mir jemand
> einen Tipp geben,wie ich weitermachen kann?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 So 14.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Sei [mm]L:=\{x \in X: f(x) \in B\}[/mm] und [mm]R:= \{f^{-1}(y)|y \in B\}[/mm]
>
> Ich zeige Dir mal die Inklusion [mm]L \subseteq R[/mm] (die
> umgekehrte Inklusion versuchst Du dann selbst)
>
> Sei [mm]x \in L[/mm]. Dann ist [mm]y:=f(x) \in B[/mm]. Somit: [mm]x = f^{-1}(y) \in R[/mm]
>
Also nochmal,wir haben x [mm] \in [/mm] L. Dann ist y:=f(x) [mm] \in [/mm] B. Das ist klar,aber wie kommst du jetzt aus [mm] x=f^{-1}(y) \in [/mm] R? Hast du auf beiden Seiten [mm] f^{-1} [/mm] angewendet? Dann hätte ich aber
y:=f(x) [mm] \in [/mm] B [mm] |f^{-1}
[/mm]
[mm] f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x)) \in [/mm] B
[mm] f^{-1}(y)=x \in [/mm] B
Und muss es nicht anstatt x = [mm] f^{-1}(y) \in [/mm] R nicht x [mm] \in f^{-1}(y) \in [/mm] R heißen?
Die umgelehrte Richtung sieht dann so aus:
Sei y [mm] \in [/mm] R.DAnn ist [mm] x:=f^{-1}(y) \in [/mm] B. Wende ich jetzt auf beiden Seiten f an,so hab ich f(x)=y [mm] \in [/mm] B.
Dieses [mm] \in [/mm] B stört mich ein bischen,kann ich das nicht einfach so schreiben: f(x) [mm] \in [/mm] B=y, bzw. f(x) [mm] \in [/mm] B [mm] \in [/mm] y ?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 So 14.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]L:=\{x \in X: f(x) \in B\}[/mm] und [mm]R:= \{f^{-1}(y)|y \in B\}[/mm]
>
> >
> > Ich zeige Dir mal die Inklusion [mm]L \subseteq R[/mm] (die
> > umgekehrte Inklusion versuchst Du dann selbst)
> >
> > Sei [mm]x \in L[/mm]. Dann ist [mm]y:=f(x) \in B[/mm]. Somit: [mm]x = f^{-1}(y) \in R[/mm]
>
> >
>
> Also nochmal,wir haben x [mm]\in[/mm] L. Dann ist y:=f(x) [mm]\in[/mm] B. Das
> ist klar,aber wie kommst du jetzt aus [mm]x=f^{-1}(y) \in[/mm] R?
> Hast du auf beiden Seiten [mm]f^{-1}[/mm] angewendet?
Ja
> Dann hätte
> ich aber
>
> y:=f(x) [mm]\in[/mm] B [mm]|f^{-1}[/mm]
> [mm]f^{-1}(y)=f^{-1}(f(x)) \in[/mm] B
> [mm]f^{-1}(y)=x \in[/mm] B
Das ist doch Quatsch ! Schau Dir die Def. von R an !!!
>
> Und muss es nicht anstatt x = [mm]f^{-1}(y) \in[/mm] R nicht x [mm]\in f^{-1}(y) \in[/mm]
> R heißen?
>
> Die umgelehrte Richtung sieht dann so aus:
> Sei y [mm]\in[/mm] R.DAnn ist [mm]x:=f^{-1}(y) \in[/mm] B. Wende ich jetzt
> auf beiden Seiten f an,so hab ich f(x)=y [mm]\in[/mm] B.
> Dieses [mm]\in[/mm] B stört mich ein bischen,kann ich das nicht
> einfach so schreiben: f(x) [mm]\in[/mm] B=y, bzw. f(x) [mm]\in[/mm] B [mm]\in[/mm] y
Auch das ist Murks !
Sei x [mm] \in [/mm] R. Dann gibt es ein y [mm] \in [/mm] B mit [mm] x=f^{-1}(y). [/mm] Dann ist f(x)=y [mm] \in [/mm] B, also x [mm] \in [/mm] L
FRED
> ?
>
> Vielen Dank
> lg
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