Umkehrabbildung der Kompositio < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] V_1, V_2 [/mm] und [mm] V_3 [/mm] lineare Räume über dem Körper K, T lin. Abbildung von [mm] V_1 [/mm] nach [mm] V_2 [/mm] und S lin. Abbildung von [mm] V_2 [/mm] nach [mm] V_3 [/mm] . Zeige: ( ST [mm] )^{-1} [/mm] = [mm] T^{-1} S^{-1} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich soll die o.g. Aufgabe zeigen, d.h. ich soll zeigen, dass [mm] (ST)^{-1} [/mm] = [mm] T^{-1} S^{-1} [/mm] ist.
Ich weiß, dass ist [mm] D((ST)^{-1}) [/mm] = W(ST) und [mm] D(T^{-1} S^{-1})={y mit der Eigenschaft y \in D (S^{-1}) = W(S) und S^{-1}y \in D(T^{-1}) }.
[/mm]
Wie gehe ich weiter vor?
Über Hilfe würde ich mich echt freuen.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Seien [mm]V_1, V_2[/mm] und [mm]V_3[/mm] lineare Räume über dem Körper K, T
> lin. Abbildung von [mm]V_1[/mm] nach [mm]V_2[/mm] und S lin. Abbildung von
> [mm]V_2[/mm] nach [mm]V_3[/mm] . Zeige: ( ST [mm])^{-1}[/mm] = [mm]T^{-1} S^{-1}[/mm]
> Hallo
> zusammen,
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> ich soll die o.g. Aufgabe zeigen, d.h. ich soll zeigen,
> dass [mm](ST)^{-1}[/mm] = [mm]T^{-1} S^{-1}[/mm] ist.
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> Ich weiß, dass ist [mm]D((ST)^{-1})[/mm] = W(ST) und [mm]D(T^{-1} S^{-1})={y mit der Eigenschaft y \in D (S^{-1}) = W(S) und S^{-1}y \in D(T^{-1}) }.[/mm]
>
Hallo,
ist die Aufgabe so gestellt, wie sie da steht?
Ist mit [mm] T^{-1} [/mm] die Umkehrabbildung gemeint, sind die Abbildungen also invertierbar?
Dann ist die Sache einfach: es ist [mm] id=S\circ T\circ T^{-1}\circ S^{-1},
[/mm]
also ist [mm] T^{-1}\circ S^{-1} [/mm] die Umkehrabbildung von [mm] S\circ [/mm] T, in Zeichen ....
Oder geht es um Urbilder???
Gruß v. Angela
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Ja, es ist mit [mm] T^{-1} [/mm] die Umkehrabbildung von T gemeint und S und T sollen invertierbar sein.
Ich soll nämlich vorher zeigen, wenn S und T invertierbar sind, dass dann auch S [mm] \circ [/mm] T invertierbar ist.
Was genau reicht dann zu zeigen?
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Dann reicht das, was ich Dir vorgemacht habe. Du mußt nur bei den drei Pünktchen etwas Richtiges hinschreiben.
Gruß v. Angela
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Etwas richtiges hinschreiben?
Irgendwie versteh ich gerade nicht, was du meinst.
Gut, da sind Pünktchen...
meinst du
d.h. da id= [mm] STT^{-1}S^{-1} [/mm] ist,
ist also [mm] (ST)^{-1}= T^{-1}S^{-1}???
[/mm]
Ich danke dir aber trotzdem ganz doll für deine rasche Hilfe! Sehr lieb!
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> meinst du
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> d.h. da id= [mm]STT^{-1}S^{-1}[/mm] ist,
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> ist also [mm](ST)^{-1}= T^{-1}S^{-1}???[/mm]
>
>> es ist $ [mm] id=S\circ T\circ T^{-1}\circ S^{-1}, [/mm] $
= [mm] (S\circ T)\circ T^{-1}\circ S^{-1}
[/mm]
>> also ist $ [mm] T^{-1}\circ S^{-1} [/mm] $ die Umkehrabbildung von $ [mm] S\circ [/mm] $ T.
Die Umkehrabbildung u zu einer Abbildung f ist doch diejenige Abbildung,
für welche [mm] f\circ [/mm] u= id gilt.
Gruß v. Angela
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