Umkehrfkt. v. hyperbolischen F < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 So 06.02.2011 | | Autor: | Lotl89 |
| Aufgabe | Die Umkehgrfunktionen arsinh und arcosh der hyperb. Funktionen sinh und cosh lassen sich über den natürlichen Log erklären. Zeigen Sie die beiden folgenden Identitäten:
(a) arsinh(x) = ln [mm] (x+(x^2+1)^0.5) [/mm] für x E von R
(b) arcosh(x) = ln (x + [mm] (x^2 -1)^0,5) [/mm] für x >= 1 |
So meine Frage lautet erst einmal wie ich die Aufgabenstellung verstehen soll. Wie lauten die Schritte zur Lösung der Aufgabe?
danke schonmal
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> Die Umkehgrfunktionen arsinh und arcosh der hyperb.
> Funktionen sinh und cosh lassen sich über den natürlichen
> Log erklären. Zeigen Sie die beiden folgenden
> Identitäten:
> (a) arsinh(x) = ln [mm](x+(x^2+1)^0.5)[/mm] für x E von R
> (b) arcosh(x) = ln (x + [mm](x^2 -1)^0,5)[/mm] für x >= 1
> So meine Frage lautet erst einmal wie ich die
> Aufgabenstellung verstehen soll. Wie lauten die Schritte
> zur Lösung der Aufgabe?
> danke schonmal
es ist doch [mm] \sinh(x) := \frac{e^x - e^{-x}}{2}
[/mm]
und eine umkehrfunktion bestimmt man, indem man die variablen y und x vertauscht, und nach der anderen auflöst. hier ist zu zeigen, dass dann entsprechendes dabei herauskommt
also start
[mm] arsinh(x)=y=ln(x+\sqrt{x^2+1})
[/mm]
nun y mit x vertauschen und wie gewohnt nach y auflösen und zeigen, dass da [mm] sinh(x)=y=\frac{e^x - e^{-x}}{2}
[/mm]
herauskommt
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 06.02.2011 | | Autor: | Lotl89 |
wenn ich hier nun anfange mit (a) und nach x auflöse bleibe ich bei [mm] e^y= x+(x^2+1)^0.5 [/mm] stehen... wie muss ich hier fortfahren?
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> wenn ich hier nun anfange mit (a) und nach x auflöse
> bleibe ich bei [mm]e^y= x+(x^2+1)^0.5[/mm] stehen... wie muss ich
> hier fortfahren?
quadrieren auf beiden seiten, dann alles bis auf die wurzel auf eine seite holen, nochmal quadrieren usw.
ist aber ziemlich umständlich.
einfacher ist es dann wohl von sinh(x)=y die umkehrfunktion, also arsinh(x) zu bestimmen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 06.02.2011 | | Autor: | Lotl89 |
Ok auch hier bleibe ich beim umformen stecken.... habe dann hier stehen 2y = [mm] e^x [/mm] - e^-x wie fahre ich hier mit dem logarithmieren fort? bzw generell? ich hätte woieter umgeformt zu x= ln(2y)/2
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Hallo Lotl89,
> Ok auch hier bleibe ich beim umformen stecken.... habe dann
> hier stehen 2y = [mm]e^x[/mm] - e^-x wie fahre ich hier mit dem
> logarithmieren fort? bzw generell? ich hätte woieter
> umgeformt zu x= ln(2y)/2
Substituiere zunächst [mm]z=e^{x}[/mm].
Dann erhältst Du, durch Multiplikation mit z,
eine quadratische Gleichung für z.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 06.02.2011 | | Autor: | Lotl89 |
ok danke ich bekomme hier auch das richtige ergebnis, nur dass ich beim lösen der quad. funktion durch pq formel y+- Wurzel stehen habe... sind dann beide lösungen richtig oder nur die für + die ja in meiner aufgabenstellung steht?
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> ok danke ich bekomme hier auch das richtige ergebnis, nur
> dass ich beim lösen der quad. funktion durch pq formel y+-
> Wurzel stehen habe... sind dann beide lösungen richtig
> oder nur die für + die ja in meiner aufgabenstellung
> steht?
nur die positive, denn [mm] x-\sqrt{x^2+1} [/mm] ist immer <0 (denn die wurzel aus [mm] x^2+1 [/mm] ist immer etwas grösser als x selbst) und dann wäre der ln nicht definiert!
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 So 06.02.2011 | | Autor: | Lotl89 |
ok danke das habe ich jetzt verstanden... das gleiche wollte ich noch mit cosh(x) machen, an sich hat das auch alles funktioniert, aber hier is die wurzel [mm] (x^2-1) [/mm] ja kleiner als x....also gibt es hier dann zwei lösungen?
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> ok danke das habe ich jetzt verstanden... das gleiche
> wollte ich noch mit cosh(x) machen, an sich hat das auch
> alles funktioniert, aber hier is die wurzel [mm](x^2-1)[/mm] ja
> kleiner als x....also gibt es hier dann zwei lösungen?
cosh(x) ist wie eine parabel [mm] y=x^2 [/mm] nicht injektiv, d.h. für [mm] \pm [/mm] x wird der gleiche y wert erreicht, somit gibt es 2. verschiedene umkehrfunktionen. bleiben wir doch mal bei dem beispiel mit der parabel [mm] x^2.
[/mm]
für positive x gilt die umkehrfunktion [mm] y=\sqrt{x}, [/mm] für negative x entsprechend [mm] y=-\sqrt{x}
[/mm]
hier gilt dann entsprechend ähnliches
gruß tee
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