Umkehrfkt der Verteilungsfkt < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Fr 13.01.2017 | | Autor: | Noya |
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [mm] \IR [/mm] und der Verteilungsfunktion F(x).
a) Seien x [mm] \in \IR [/mm] und p [mm] \in [/mm] [0,1]. Zeige : [mm] H(p):=inf\{ z \in \IR | F(z) \ge p \} [/mm] erfüllt H(p) [mm] \le [/mm] x genau dann, wenn p [mm] \le [/mm] F(x).
b) Entscheide und begründe, ob im Allgemeinen auch H(p)=x und p =F(x) äquivalent sind.
c) Sei U uniform verteilt auf dem Intervall [0,1], d.h. U hat die Wahrscheinlichkeitsdichte [mm] f_{U}(u)=\underbrace{1_{[0,1]}(u)}_{=Soll Indikatorfkt darstellen}. [/mm] Zeige, dass H(U) dieselbe Verteilung wie X hat. |
Hallöchen Liebe Matheraum-Gemeinde,
ich hoffe ich stelle meine Fragen hier korrekt ein.
Zuerst zur a) Seien x [mm] \in \IR [/mm] und p [mm] \in [/mm] [0,1]. Zeige : [mm] H(p):=inf\{ z \in \IR | F(z) \ge p \} [/mm] erfüllt H(p) [mm] \le [/mm] x genau dann, wenn p [mm] \le [/mm] F(x).
Angenommen ich weiß, dass H(p) = [mm] F^{-1} [/mm] ist, also die Umkehrfkt der Verteilungsfkt, dann ist der Beweis ja:
[mm] "\Rightarrow" [/mm] F(x) [mm] \ge [/mm] p gdw x [mm] \ge F^{-1}(p)
[/mm]
[mm] "\Leftarrow" [/mm] x [mm] \ge F^{-1}(p) \gdw [/mm] F(x) [mm] \ge F(F^{-1}(p)) \ge [/mm] p (wg Monotonie und rechtsseitiger Stetigkeit von F)
Problem : Ich weiß nicht, dass das die Umkehrfkt ist und muss daher ja erstmal zeigen, dass das gilt oder? Und da habe ich meine Probleme... Wie kann man das angehen?
Ich weiß ja über die Verteilungsfkt nichts.
Könnte mir eventuell einer einen Tipp geben wie ich da vorgehen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Schönen Tag noch und vielen Dank. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Fr 13.01.2017 | | Autor: | huddel |
Hallo Noya :)
> Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in [mm]\IR[/mm] und der
> Verteilungsfunktion F(x).
>
> a) Seien x [mm]\in \IR[/mm] und p [mm]\in[/mm] [0,1]. Zeige : [mm]H(p):=inf\{ z \in \IR | F(z) \ge p \}[/mm]
> erfüllt H(p) [mm]\le[/mm] x genau dann, wenn p [mm]\le[/mm] F(x).
>
> b) Entscheide und begründe, ob im Allgemeinen auch H(p)=x
> und p =F(x) äquivalent sind.
>
> c) Sei U uniform verteilt auf dem Intervall [0,1], d.h. U
> hat die Wahrscheinlichkeitsdichte
> [mm]f_{U}(u)=\underbrace{1_{[0,1]}(u)}_{=Soll Indikatorfkt darstellen}.[/mm]
> Zeige, dass H(U) dieselbe Verteilung wie X hat.
> Hallöchen Liebe Matheraum-Gemeinde,
Hier erstmal noch die Frage: Was ist $X$ genau?
> ich hoffe ich stelle meine Fragen hier korrekt ein.
> Zuerst zur a) Seien x [mm]\in \IR[/mm] und p [mm]\in[/mm] [0,1]. Zeige :
> [mm]H(p):=inf\{ z \in \IR | F(z) \ge p \}[/mm] erfüllt H(p) [mm]\le[/mm] x
> genau dann, wenn p [mm]\le[/mm] F(x).
>
> Angenommen ich weiß, dass H(p) = [mm]F^{-1}[/mm] ist, also die
> Umkehrfkt der Verteilungsfkt, dann ist der Beweis ja:
Das ist Aufgabenteil b. und dazu betrachte mal das dirac-maß als Wahrscheinlichkeitsmaß. Warum hat die Verteilungsfunktion in diesem Fall keine Umkehrfunktion mehr?
> [mm]"\Rightarrow"[/mm] F(x) [mm]\ge[/mm] p gdw x [mm]\ge F^{-1}(p)[/mm]
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
> x [mm]\ge F^{-1}(p) \gdw[/mm] F(x) [mm]\ge F(F^{-1}(p)) \ge[/mm] p (wg
> Monotonie und rechtsseitiger Stetigkeit von F)
Wäre soweit richtig, wenn du wüsstest, dass es eine Umkehrfunktion gibt und es diese ist.
> Problem : Ich weiß nicht, dass das die Umkehrfkt ist und
> muss daher ja erstmal zeigen, dass das gilt oder? Und da
> habe ich meine Probleme... Wie kann man das angehen?
> Ich weiß ja über die Verteilungsfkt nichts.
> Könnte mir eventuell einer einen Tipp geben wie ich da
> vorgehen kann?
Also Tendenziell nette Idee, aber wie das obige Beispiel Zeigt gibt es im allgemeinen keine Umkehrfunktion. Falls du mal zeigen sollst, dass eine Funktion $h$ die Umkehrfunktion zu einer gegebenen Funktion $f$ ist, musst du Zeigen, dass [mm] $\forall x\in [/mm] D: h(f(x)) = f(h(x)) = x$ ist, wobei $D$ der Definitionebreich ist (zugegebene, auch das ist jetzt nicht ganz Sauber, aber auch nebensächlich).
Nun zu deiner Aufgabe:
[mm] $"\Rightarrow":$
[/mm]
Es sei $x [mm] \ge [/mm] H(p)$
guck dir mal $F(H(p)) = [mm] F(inf\{z\in \mathbb{R}|F(z)\ge p\})$ [/mm] an. Was kannst du darüber sagen?
[mm] $"\Leftarrow":$
[/mm]
Es sei [mm] $p\le [/mm] F(x)$
Das ist eigeneltich ziemlich trivial. Fang bei $H(p)$ an:
$H(p) = [mm] inf\{z\in\mathbb{R}|F(z)\ge p\}$
[/mm]
und guck dir diese Definition mal ganz genau an. Was folgt da für $x$?
Um die c. kümmern wir uns, wenn wir das soweit haben.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Schönen Tag noch und vielen Dank. :)
Danke gleichfalls :)
LG
der Huddel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 15.01.2017 | | Autor: | Noya |
>
> Hier erstmal noch die Frage: Was ist [mm]X[/mm] genau?
Inwiefern? Mehr Infomationen habe ich auch nicht, außer das es eine Zufallsvariable mit Werten [mm] \in \IR [/mm] ist.
r a) Seien x [mm]\in \IR[/mm] und p [mm]\in[/mm] [0,1]. Zeige :
> > [mm]H(p):=inf\{ z \in \IR | F(z) \ge p \}[/mm] erfüllt H(p) [mm]\le[/mm] x
> > genau dann, wenn p [mm]\le[/mm] F(x).
> >
> > Angenommen ich weiß, dass H(p) = [mm]F^{-1}[/mm] ist, also die
> > Umkehrfkt der Verteilungsfkt, dann ist der Beweis ja:
>
> Das ist Aufgabenteil b. und dazu betrachte mal das
> dirac-maß als Wahrscheinlichkeitsmaß. Warum hat die
> Verteilungsfunktion in diesem Fall keine Umkehrfunktion
> mehr?
>
> > [mm]"\Rightarrow"[/mm] F(x) [mm]\ge[/mm] p gdw x [mm]\ge F^{-1}(p)[/mm]
> >
> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
> > x [mm]\ge F^{-1}(p) \gdw[/mm] F(x) [mm]\ge F(F^{-1}(p)) \ge[/mm] p (wg
> > Monotonie und rechtsseitiger Stetigkeit von F)
>
> Wäre soweit richtig, wenn du wüsstest, dass es eine
> Umkehrfunktion gibt und es diese ist.
Genau das sage ich ja oben. Nur leider weiß ich das ja nicht...
>
> > Problem : Ich weiß nicht, dass das die Umkehrfkt ist und
> > muss daher ja erstmal zeigen, dass das gilt oder? Und da
> > habe ich meine Probleme... Wie kann man das angehen?
> > Ich weiß ja über die Verteilungsfkt nichts.
> > Könnte mir eventuell einer einen Tipp geben wie ich da
> > vorgehen kann?
>
> Also Tendenziell nette Idee, aber wie das obige Beispiel
> Zeigt gibt es im allgemeinen keine Umkehrfunktion. Falls du
> mal zeigen sollst, dass eine Funktion [mm]h[/mm] die Umkehrfunktion
> zu einer gegebenen Funktion [mm]f[/mm] ist, musst du Zeigen, dass
> [mm]\forall x\in D: h(f(x)) = f(h(x)) = x[/mm] ist, wobei [mm]D[/mm] der
> Definitionebreich ist (zugegebene, auch das ist jetzt nicht
> ganz Sauber, aber auch nebensächlich).
Danke.
>
> Nun zu deiner Aufgabe:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
> Es sei [mm]x \ge H(p)[/mm]
> guck dir mal [mm]F(H(p)) = F(inf\{z\in \mathbb{R}|F(z)\ge p\})[/mm]
> an. Was kannst du darüber sagen?
[mm] inf\{z\in \mathbb{R}|F(z)\ge p\}) [/mm] = der kleinste wert z [mm] \in \IR [/mm] für den F(z) [mm] \ge [/mm] p ist.
also
F(x)=P(X [mm] \le [/mm] x)
wäre ja hier
[mm] F(H(p))=F(inf\{z\in \mathbb{R}|F(z)\ge p\}) [/mm] = die WKT das dieses kleinste z für das [mm] F(z)\ge [/mm] p angenommen wird.
Ich weiß nicht so recht was ich damit anfangen soll. Irgendwie stehe ich echt auf dem Schlauch.
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
> Es sei [mm]p\le F(x)[/mm]
> Das ist eigeneltich ziemlich trivial.
> Fang bei [mm]H(p)[/mm] an:
>
> [mm]H(p) = inf\{z\in\mathbb{R}|F(z)\ge p\}[/mm]
>
> und guck dir diese Definition mal ganz genau an. Was folgt
> da für [mm]x[/mm]?
>
Keine Ahnung ehrlich gesagt...
> Um die c. kümmern wir uns, wenn wir das soweit haben.
>
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt
> >
> > Schönen Tag noch und vielen Dank. :)
>
> Danke gleichfalls :)
>
> LG
> der Huddel
>
Danke für deine Mühen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 16.01.2017 | | Autor: | huddel |
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> >
> > Hier erstmal noch die Frage: Was ist [mm]X[/mm] genau?
> Inwiefern? Mehr Infomationen habe ich auch nicht, außer
> das es eine Zufallsvariable mit Werten [mm]\in \IR[/mm] ist.
Naja, wir vergleichen nun eine Uniformverteilte Zufallsvariable $U$ und dessen Verteilungsfunktion mit einer Zufallsvariable, von der wir nichts wissen. Wenn wir zu diesem $U$ nun die Funktion $H$ angucken, ist das garantiert nicht genau so verteilt, wie eine Zufallsvariable $X$ die z.B. normalverteilt ist. Worauf ich hinaus will ist, dass da ein Fehler in der Aufgabe sein muss, da sie nur dann Sinn ergibt, wenn du zeigen sollst, dass $H(U)$ gleichverteilt zu $U$ ist
> r a) Seien x [mm]\in \IR[/mm] und p [mm]\in[/mm] [0,1]. Zeige :
> > > [mm]H(p):=inf\{ z \in \IR | F(z) \ge p \}[/mm] erfüllt H(p) [mm]\le[/mm] x
> > > genau dann, wenn p [mm]\le[/mm] F(x).
> > >
> > > Angenommen ich weiß, dass H(p) = [mm]F^{-1}[/mm] ist, also die
> > > Umkehrfkt der Verteilungsfkt, dann ist der Beweis ja:
> >
> > Das ist Aufgabenteil b. und dazu betrachte mal das
> > dirac-maß als Wahrscheinlichkeitsmaß. Warum hat die
> > Verteilungsfunktion in diesem Fall keine Umkehrfunktion
> > mehr?
Ist dir hier klar, warum die Vertilungsfunktion hierzu keine Umkehrfunktion haben kann?
> > > [mm]"\Rightarrow"[/mm] F(x) [mm]\ge[/mm] p gdw x [mm]\ge F^{-1}(p)[/mm]
> > >
> > [mm]"\Leftarrow"[/mm]
> > > x [mm]\ge F^{-1}(p) \gdw[/mm] F(x) [mm]\ge F(F^{-1}(p)) \ge[/mm] p (wg
> > > Monotonie und rechtsseitiger Stetigkeit von F)
> >
> > Wäre soweit richtig, wenn du wüsstest, dass es eine
> > Umkehrfunktion gibt und es diese ist.
> Genau das sage ich ja oben. Nur leider weiß ich das ja
> nicht...
> >
> > > Problem : Ich weiß nicht, dass das die Umkehrfkt ist und
> > > muss daher ja erstmal zeigen, dass das gilt oder? Und da
> > > habe ich meine Probleme... Wie kann man das angehen?
> > > Ich weiß ja über die Verteilungsfkt nichts.
> > > Könnte mir eventuell einer einen Tipp geben wie ich da
> > > vorgehen kann?
> >
> > Also Tendenziell nette Idee, aber wie das obige Beispiel
> > Zeigt gibt es im allgemeinen keine Umkehrfunktion. Falls du
> > mal zeigen sollst, dass eine Funktion [mm]h[/mm] die Umkehrfunktion
> > zu einer gegebenen Funktion [mm]f[/mm] ist, musst du Zeigen, dass
> > [mm]\forall x\in D: h(f(x)) = f(h(x)) = x[/mm] ist, wobei [mm]D[/mm] der
> > Definitionebreich ist (zugegebene, auch das ist jetzt nicht
> > ganz Sauber, aber auch nebensächlich).
> Danke.
> >
> > Nun zu deiner Aufgabe:
> >
> > [mm]"\Rightarrow":[/mm]
> > Es sei [mm]x \ge H(p)[/mm]
> > guck dir mal [mm]F(H(p)) = F(inf\{z\in \mathbb{R}|F(z)\ge p\})[/mm]
> > an. Was kannst du darüber sagen?
> [mm]inf\{z\in \mathbb{R}|F(z)\ge p\})[/mm] = der kleinste wert z
> [mm]\in \IR[/mm] für den F(z) [mm]\ge[/mm] p ist.
> also
> F(x)=P(X [mm]\le[/mm] x)
> wäre ja hier
> [mm]F(H(p))=F(inf\{z\in \mathbb{R}|F(z)\ge p\})[/mm] = die WKT das
> dieses kleinste z für das [mm]F(z)\ge[/mm] p angenommen wird.
> Ich weiß nicht so recht was ich damit anfangen soll.
> Irgendwie stehe ich echt auf dem Schlauch.
naja eigentlich hast du es sogar schon da stehen:
Wir wissen $H(p) [mm] \le [/mm] x$. Damit gilt doch, da $F$ monoton ist auf jeden Fall schonmal
$F(H(p)) [mm] \le [/mm] F(x)$
nun ist $H(p)$ aber gerade das infimum, sodass $p [mm] \le [/mm] F(H(p))$ ist.
> >
> > [mm]"\Leftarrow":[/mm]
> > Es sei [mm]p\le F(x)[/mm]
> > Das ist eigeneltich ziemlich
> trivial.
> > Fang bei [mm]H(p)[/mm] an:
> >
> > [mm]H(p) = inf\{z\in\mathbb{R}|F(z)\ge p\}[/mm]
> >
> > und guck dir diese Definition mal ganz genau an. Was folgt
> > da für [mm]x[/mm]?
> >
> Keine Ahnung ehrlich gesagt...
Wir wissen $p [mm] \le [/mm] F(x)$
Wenn wir jetzt das kleinste $z$ betrachten, s.d. $p [mm] \le [/mm] F(z)$ ist, gilt doch per Definition schon, dass $z [mm] \le [/mm] x$ gelten muss. Das $z$ ist aber gerade die Definition von $H$.
> > Um die c. kümmern wir uns, wenn wir das soweit haben.
> >
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt
> > >
> > > Schönen Tag noch und vielen Dank. :)
> >
> > Danke gleichfalls :)
> >
> > LG
> > der Huddel
> >
> Danke für deine Mühen...
gerne :)
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