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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Do 27.03.2014 | | Autor: | rollroll |
Hallo!
Also, die ln-Funktion ist ja die Umkehrfkt der e-Fkt. Aber warum erhält man eigentlich die Umkehrfkt durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden? Kann man das beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Do 27.03.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
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> Also, die ln-Funktion ist ja die Umkehrfkt der e-Fkt. Aber
> warum erhält man eigentlich die Umkehrfkt durch Spiegelung
> an der 1. Winkelhalbierenden? Kann man das beweisen?
Hallo,
das Bilden der Umkehrfunktion ist doch mit einem Koordinatentausch zwischen x und y verbunden.
Zu jedem Punkt (a|b) auf dem Graphen der Funktion gibt es einen zugehörigen Punkt (b|a) auf dem Graphen der Umkehrfunktion.
Eine Strecke durch (a|b) und (b|a) hat den Anstieg (b-a)/(a-b)=-1 (steht also senkrecht zur 1. Winkelhalbierenden), und der Mittelpunkt dieser Strecke ist [mm] $(\frac{a+b}{2}| \frac{a+b}{2})$ [/mm] und liegt somit auf der 1. Winkelhalbierenden.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Fr 28.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] und f:D [mm] \to \IR [/mm] injektiv.
Dann ex. [mm] f^{-1}:f(D) \to [/mm] D.
Ich schreibe g statt [mm] f^{-1}.
[/mm]
Es sei [mm] G_f [/mm] der Graph von f, also
[mm] G_f=\{(u,f(u)): u \in D\} [/mm]
und [mm] G_g [/mm] der Graph von g, also
[mm] G_g=\{(v,g(v)): v \in f(D)\}
[/mm]
Die Spiegelung [mm] \phi:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] an der ersten Winkelhalbierenden ist gegeben durch
[mm] \phi(x,y)=(y,x).
[/mm]
Klar dürfte sein, dass [mm] \phi [/mm] linear und bijektiv ist und dass gilt:
[mm] \phi^{-1}=\phi.
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] \phi(G_f)=G_g.
[/mm]
Nun sei (v,g(v)) [mm] \in G_g. [/mm] Wir setzen u:=g(v). Dann ist u [mm] \in [/mm] D und f(u)=v, also
[mm] \phi(v,g(v))=(g(v),v)=(u,f(u)) \in G_f.
[/mm]
D.h.:
[mm] \phi((G_g) \subseteq G_f.
[/mm]
Genauso zeigt man
[mm] \phi((G_f) \subseteq G_g.
[/mm]
Es folgt
[mm] G_g=\phi^{-1}(\phi(G_g)) \subseteq \phi^{-1}(G_f)= \phi(G_f) \subseteq G_g.
[/mm]
Fazit:
[mm] G_g= \phi(G_f) [/mm] .
FRED
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