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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Umkehrfunktion
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Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:21 Do 19.03.2020
Autor: Zwinkerlippe

Aufgabe
Bilde die Umkehrfunktion
[mm] f(x)=ln(x)+ln(\wurzel{x^2-1}) [/mm]

Ich grüße den Matheraum

ich muß also nach x umstellen und dann die Variablen tauschen

[mm] y=ln(x)+ln(\wurzel{x^2-1}) [/mm]

[mm] e^y=x*\wurzel{x^2-1} [/mm]

[mm] e^y=\wurzel{x^4-x^2} [/mm]

[mm] e^{2y}=x^4-x^2 [/mm]

[mm] 0=x^4-x^2-e^{2y} [/mm]

kann ich jetzt durch Substituion [mm] a:=x^2 [/mm] die quadratische Gleichung

[mm] 0=a^2-a-e^{2y} [/mm]

lösen?

danke Zwinkerlippe


        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Do 19.03.2020
Autor: fred97


> Bilde die Umkehrfunktion
>  [mm]f(x)=ln(x)+ln(\wurzel{x^2-1})[/mm]
>  Ich grüße den Matheraum
>  
> ich muß also nach x umstellen und dann die Variablen
> tauschen
>  
> [mm]y=ln(x)+ln(\wurzel{x^2-1})[/mm]
>  
> [mm]e^y=x*\wurzel{x^2-1}[/mm]
>  
> [mm]e^y=\wurzel{x^4-x^2}[/mm]
>  
> [mm]e^{2y}=x^4-x^2[/mm]
>  
> [mm]0=x^4-x^2-e^{2y}[/mm]
>  
> kann ich jetzt durch Substituion [mm]a:=x^2[/mm] die quadratische
> Gleichung
>
> [mm]0=a^2-a-e^{2y}[/mm]
>  
> lösen?

Ja, Du bekommst dann

[mm] $x^2=a= \frac{1}{2}(1 \pm \sqrt{1+4e^{2y}}).$ [/mm]

Wie entscheidest Du Dich nun ? [mm] \sqrt{1+4e^{2y}} [/mm] oder [mm] $-\sqrt{1+4e^{2y}}.$ [/mm]

>  
> danke Zwinkerlippe
>  


Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 Do 19.03.2020
Autor: Zwinkerlippe

Danke, ich hatte auch schon [mm] x^2=a=... [/mm]  berechnet, war mir aber eben nicht sicher, ob der Weg zielführend ist. Du erwartest von mir eine Entscheidung, + oder -. Mir ist noch nicht klar, warum ich diese Entscheidung treffen muss. Hat es etwas mit dem Definitionsbereich meiner Funktion zu tun x>1 ? Wie muss ich dann fortfahren? danke Zwinkerlippe

Bezug
                        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Do 19.03.2020
Autor: fred97


> Danke, ich hatte auch schon [mm]x^2=a=...[/mm]  berechnet, war mir
> aber eben nicht sicher, ob der Weg zielführend ist. Du
> erwartest von mir eine Entscheidung, + oder -. Mir ist noch
> nicht klar, warum ich diese Entscheidung treffen muss. Hat
> es etwas mit dem Definitionsbereich meiner Funktion zu tun
> x>1 ? Wie muss ich dann fortfahren? danke Zwinkerlippe

Nimm an , es wäre

$ [mm] x^2=a= \frac{1}{2}(1 [/mm] - [mm] \sqrt{1+4e^{2y}}). [/mm] $

Wegen $1 - [mm] \sqrt{1+4e^{2y}}<0$ [/mm] hätten wir dann [mm] $x^2 [/mm] <0$ . Geht das gut ?



Bezug
                                
Bezug
Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Do 19.03.2020
Autor: Zwinkerlippe

Ok, das habe ich verstanden, somit

[mm] x^2=\bruch{1}{2}*(1+\wurzel{1+4e^{2y}}) [/mm]

[mm] x=\wurzel(\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+e^{2y}}) [/mm]

jetzt Variablen tauschen Zwinkerlippe



Bezug
                                        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Do 19.03.2020
Autor: fred97


> Ok, das habe ich verstanden,


Prima.

>  somit
>  
> [mm]x^2=\bruch{1}{2}*(1+\wurzel{1+4e^{2y}})[/mm]
>  
> [mm]x=\wurzel(\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+e^{2y}})[/mm]

Zunächst folgt

[mm]x= \pm \wurzel(\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+e^{2y}})[/mm].

Da aber, wie Du oben geschrieben hast $x>1$ sein soll, folgt

[mm]x=\wurzel(\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+e^{2y}})[/mm]

>  
> jetzt Variablen tauschen


genau.

> Zwinkerlippe
>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Umkehrfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:53 Do 19.03.2020
Autor: Zwinkerlippe

Riesen Dank Fred, klar vor die Wurzel muss [mm] \pm, [/mm] damit es mathematisch sauber ist, dann kommt der Definitionsbereich in's Spiel, Zwinkerlippe

Bezug
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