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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 07.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
um zu überprüfen, ob eine Abbildung im [mm] \IR^{n} [/mm] umkehrbar ist, habe ich mir folgendes Verfahren zurechtgebastelt:
- zur Abbildung gehörige Jacobi-Matrix bilden
- überprüfen, ob die Determinante dieser Matrix [mm] \not= [/mm] 0 ist
- wenn sie es ist, dann ist die Jacobi-Matrix invertierbar.
- somit existiert die Umkehrabbildung.
Ich habe das mal an einem Beispiel durchgeführt und es klappt.
Nun habe ich aber entdeckt, daß ich speziell im [mm] \IR [/mm] auf die strenge Monotonie der entsprechenden Abbildung achten muß, weil die Abbildung sonst nicht umkehrbar ist. Warum?
Welche Auswirkung hat es auf das oben angegebene Verfahren?
Herzlichen Dank!
Viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Di 07.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi regine
ich denke dein vorgehen ist schon prinzipiel richtig (wobei ich mich nie wirklich ausführlich mit der invertierbarkeit mehr-dimensionaler funktionn beschäftigt habe).
meiner ansicht nach müsste es jedoch heißen:
- überprüfen, ob die Determinante dieser Matrix für ein bestimmtes [m] x_0 [/m] ungleich 0 ist
- wenn sie es ist, dann ist die Jacobi-Matrix in [mm] $x_0$ [/mm] invertierbar.
- somit existiert in einer umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] die Umkehrabbildung.
> Nun habe ich aber entdeckt, daß ich speziell im [mm]\IR[/mm] auf die
> strenge Monotonie der entsprechenden Abbildung achten muß,
> weil die Abbildung sonst nicht umkehrbar ist. Warum?
die jacobi matrix einer stetig differenzierbaren funktion [m] f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} [/m] ist einfach ihre ableitung $f'$. wenn diese für eine [m] x_0 \in \mathbb{R} [/m] ungleich null ist, so ist die funktion natürlich in einer umgebung streng monoton und damit in dieser umgebung umkehrbar!
ich hoffe ich habe deine frage nicht falsch verstanden, sonst frage einfach nochmal nach!
grüße
andreas
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Ich stimme Andreas zu.
In der Tat kann man aus der Tatsache, daß die Jacobi-Matrix global nicht verschwindet, nicht auf die globale Umkehrbarkeit der Funktion schließen. Ein schönes und einfaches Beispiel dafür ist die komplexe Exponentialfunktion. Da ich nicht weiß, ob Regine sich damit auskennt, übersetze ich einmal alles ins Reelle:
[mm]f: \ \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \ , \ \ (x,y) \mapsto (u,v)=(e^x \cos{y} \, , \, e^x \sin{y})[/mm]
Man hat
[mm]u_x=v_y=e^x \cos{y} \ , \ \ u_y=-v_x=-e^x \sin{y}[/mm]
Die Determinante der Jacobi-Matrix ist [mm]e^{2x}[/mm] und wird daher niemals 0. Dennoch ist f wegen der Periodizität nicht global umkehrbar:
[mm]f(x,y+2\pi)=f(x,y)[/mm]
Aus dem Nichtverschwinden der Jacobi-Determinante an einer festen Stelle kann man bei stetiger Differenzierbarkeit allerdings auf lokale Umkehrbarkeit schließen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Mi 08.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe es nun grundsätzlich noch einmal überdacht.
Ich muß vorallem auch voraussetzen, daß die Abbildung, von der eine Umkehrabbildung gebildet werden soll, eine mindestens einmal stetig differenzierbare Abbildung ist.
Dann muß ich mir einen festen Punkt nehmen und dort die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix überprüfen und kann dann nur auf die lokale Umkehrbarkeit schließen.
Und nur, wenn die Jacobi-Matrix in jedem Punkt invertierbar ist, dann ist die Funktion auch in jedem Punkt umkehrbar.
Danke und viele Grüße,
Regine.
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Deine letzte Formulierung ist etwas undeutlich. Deswegen will ich es noch einmal klarstellen:
Wenn, die nötigen Differenzierbarkeitsbedingungen vorausgesetzt, die Determinante der Jacobi-Matrix in jedem Punkt ungleich 0 ist, so heißt das nur, daß die Funktion in jedem Punkt lokal umkehrbar ist, d.h. daß sie in einer Umgebung eines jeden Punktes lokal umkehrbar ist.
Dennoch braucht die Funktion nicht als ganze umkehrbar zu sein (siehe Beispiel in meinem vorigen Beitrag).
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:28 Mi 08.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
und wie kann ich dann auf die Umkehrbarkeit der ganzen Funktion schließen? Dies ist nicht möglich? Sondern nur immer in der Umgebung eines Punktes?
Ich hatte irrtümlicherweise auf die ganze Funktion geschlossen, weil man dieses z.B. bei der Stetigkeit auch tut. Man sagt, eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist. Ok, mein Verständnisfehler...
Danke!!
Viele Grüße,
Regine.
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Ein simples Kriterium für die globale Umkehrbarkeit im Mehrdimensionalen ist mir nicht bekannt. Ich denke, das sind von-Fall-zu-Fall-Entscheidungen.
Aber vielleicht weiß jemand anderes mehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:55 Mi 29.09.2004 | | Autor: | MAOAM |
Hallo,
eine Funktion f : [mm] X\to \IC [/mm] ist umkehrbar falls sie injektiv und X [mm] \subset \IC [/mm] ist.
So stehts im Königsberger Ana1. Weiter sind alle streng monotonen Funktionen Umkehrbar weil sie injektiv sind.
Kann man das gelten lassen?
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