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| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR; [/mm] f:= [mm] \wurzel[3]{x+ \wurzel{1+ x^{2}}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{x- \wurzel{1+ x^{2}}} [/mm] ist umkehrbar: Es existiert also eine Funktion g: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit den beiden Eigenschaften
1. Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt g(f(x)) = x;
2. Für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt f(g(x)) = x;
a) Welche Bedeutung für die Funktion f hat die erste Eigenschaft und welche die zweite ?
b) Ermitteln sie für die Umkehrfunktion g = [mm] f^{-1} [/mm] eine explizite Berechnungsvorschrift. Bestimmen Sie insbesondere die Urbilder [mm] f^{-1} [/mm] (1) und [mm] f^{-1} [/mm] (2) ! |
Hallo zusammen !
Hab bei dieser Aufgabe einige kleinere Problemchen :-( ... Ich schaffs bei b) einfach nicht eine Umkehrfunktion zu bestimmen ! Ich rechne mir hier nen Wolf und komm auf keinen grünen Ast !
a) ???
b) Also meine Funktion lautet: y = [mm] \wurzel[3]{x+ \wurzel{1+ x^{2}}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{x- \wurzel{1+ x^{2}}} [/mm] ;
Jetzt müsste ich das prinzipiell irgendwie nach x auflösen, und dann hätt ich schon meine UKF ? Oder ?
Leider macht mir das Auflösen des Teils hier einige Problemchen !
Wäre nett, wenn mir hierbei einer ein bisschen unter die Arme greifen könnte !?
Vielleicht schreib ich hier einfach mal einen kleinen Anfang hin, vielleicht fang ich ja schon falsch an ...
y = [mm] \wurzel[3]{x+ \wurzel{1+ x^{2}}} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{x- \wurzel{1+ x^{2}}}
[/mm]
Hab das [mm] \wurzel[3] [/mm] erstmal als Potenz geschrieben:
y = ( x+ [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{1}{3}} [/mm] + ( x- [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Jetzt hab ich das Ganze "hoch drei" genommen:
[mm] y^{3} [/mm] = x + [mm] \wurzel{1+ x^{2}} [/mm] + 3 * ( [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{2}{3}} [/mm] * (x - [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{1}{3}} [/mm] + 3 * ( [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{1}{3}} [/mm] * (x - [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{2}{3}} [/mm] + x - [mm] \wurzel{1+ x^{2}} [/mm] ;
Jetzt noch was rausgestrichen:
[mm] y^{3} [/mm] = 2*x + 3 * ( [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{2}{3}} [/mm] * (x - [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{1}{3}} [/mm] + 3 * ( [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{1}{3}} [/mm] * (x - [mm] \wurzel{1+ x^{2}} )^{\bruch{2}{3}};
[/mm]
Aber jetzt beissts hier leider aus ... Bin ich hier überhaupt noch richtig ? Wäre dankbar über Tips, Anregungen, Vorschläge (und natürlich auch Lösungen  )
Danke schonmal jetzt !
Noch ne Frage: Gibts für solche Sachen eigentlich irgendwo ein frei erhältliches Programm, das mir hier z.B. ne UKF angibt ?
Grüße, Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:05 Sa 06.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Die Funktion f: [mm]\IR \to \IR;[/mm] f:= [mm]\wurzel[3]{x+ \wurzel{1+ x^{2}}}[/mm]
> + [mm]\wurzel[3]{x- \wurzel{1+ x^{2}}}[/mm] ist umkehrbar: Es
Du solltest die Funktion besser als $f : x [mm] \mapsto \wurzel[3]{x+ \wurzel{1+ x^{2}}} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{\wurzel{1+ x^{2}} - x}$ [/mm] hinschreiben, da du ansonsten erklaeren musst was [mm] $\sqrt[3]{t}$ [/mm] fuer $t < 0$ ist.
Diese Funktion scheint uebrigens analytisch (holomorph) zu sein.
> existiert also eine Funktion g: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit den beiden
> Eigenschaften
>
> 1. Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt g(f(x)) = x;
> 2. Für alle x [mm]\in \IR[/mm] gilt f(g(x)) = x;
>
> a) Welche Bedeutung für die Funktion f hat die erste
> Eigenschaft und welche die zweite ?
Gemeint ist, dass du diese Eigenschaften der Injektivitaet und der Surjektivitaet zuordnen sollst.
> b) Ermitteln sie für die Umkehrfunktion g = [mm]f^{-1}[/mm] eine
> explizite Berechnungsvorschrift. Bestimmen Sie insbesondere
> die Urbilder [mm]f^{-1}[/mm] (1) und [mm]f^{-1}[/mm] (2) !
Dazu hab ich leider auch keine Idee...
> Noch ne Frage: Gibts für solche Sachen eigentlich irgendwo
> ein frei erhältliches Programm, das mir hier z.B. ne UKF
> angibt ?
Wenn du ein freies Computer-Algebra-System suchst, versuch es doch mal mit ![[]](/images/popup.gif) MuPAD. Das kann dir bei diesem Problem allerdings auch nicht helfen.
LG Felix
PS: Falls hier niemand mehr was zu postet waere es nett, wenn du die Loesung hier hinschreiben wuerdest sobald du sie andersweitig (Tutorium, Musterloesung, ...) erfaehrst...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 07.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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