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Forum "Uni-Analysis" - Umkehrfunktion
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Umkehrfunktion: exponentialfkt.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:16 Fr 01.09.2006
Autor: hooover

Aufgabe
Gilt  [mm] (f')^{-1}{(x)}=(f^{-1})'(x)? [/mm]

Hallo an alle,

ich hab da Probleme mit der Umkehrfunktion

also

ich weiß das,

[mm] f(x)=e^x [/mm]

die Umkehrfunktion  

[mm] f^{-1}{(x)}=ln(x) [/mm]

gut aber was ist denn

[mm] f(x)=e^x+x [/mm]            ich komme da einfachn icht hinter, wenn ich die formel anwende sieht das so aus


[mm] f(x)=e^x+x=y [/mm]

[mm] y=e^x+x [/mm]           das jetzt wenn möglich nach x auflösen, was mir aber nicht gelingt

würde das über den ln machen

sieht dann so aus


ln(y)=ln(x)+ln(x)              aber das kann nicht stimmen, denn das würde

heißen, dass     [mm] ln(e^x)=ln(x), [/mm] was ich mir einfach nicht vorstellen kann.

anders

könnte ich ja [mm] y=e^x+x [/mm]   einfach stehen lassen und dann einsetzen

[mm] f^{-1}{(e^x+x)}=e^{(e^x+x)}+(e^x+x) [/mm]

was aber auch irgendwie nicht sein kann.  


naja und von die Umkehrfunktion von dieser abgeleiteten FUnktion

[mm] f(x)=e^x+x [/mm]

ist noch sehr weit weg.

genau wie wie die Frage ob: [mm] (f')^{-1}{(x)}=(f^{-1})'(x) [/mm] gilt oder obe es da überhapt einen unterschied gibt.

naja ich wäre schon für den Ansatz für die Umkehrfunktion von [mm] (x)=e^x+x [/mm] sehr dankbar.

Schönen abend noch gruß hooover





        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:35 Fr 01.09.2006
Autor: leduart

Hallo hoover
NICHT zu jeder Funktion gibts ne Umkehrfkt. die man einfach hinschreiben kann.
Die Umkehrfkt zu [mm] e^{x} [/mm] ist ja auch nicht einfach, sondern nur halt grade in jedem Taschenrechner drin!
Aber zum Beweis des Satzes oder eines Gegenbeispiels kannst du den "Satz ja mal auf [mm] f(x)=e^{x} [/mm] anwenden. was kommt denn dann raus?
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:12 Fr 01.09.2006
Autor: hooover

Hallo leduart

ich versuchs mal

[mm] f{x}=e^x [/mm]

[mm] f'{x}=e^x [/mm]


[mm] f^{-1}{(x)}=ln(x) [/mm]

[mm] (f^{-1})'{(x)}=\bruch{1}{f'(f^{-1}{(x))}}=\bruch{1}{e^x*ln(x)} [/mm]

soweit so gut (hoffe ich)

also


[mm] (f^{-1})'{(x)}=(f')^{(-1)}{(x)} [/mm]

[mm] \bruch{1}{e^x*ln(x)}=\bruch{1}{e^x*ln(x)} [/mm]


für diesen Fall stimmt das

dürfte aber nicht allgemein gelten, denn nur [mm] e^x [/mm] hat ja f{x}=f'{x}

andere Fkt. müßten ungleich sein.

vielen Dank gruß hooover

aber noch mal zu meiner Frage wie bestimme ich die Umkehrfunkktion von

[mm] f{x}=e^x+x [/mm]  ?

ich soll die nämlich skizzieren.

tausche ich in der Wertetabelle einfach f{x} gegen x aus und zeichne die?





Bezug
                        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:19 Fr 01.09.2006
Autor: leduart

Hallo hoover
> Hallo leduart
>  
> ich versuchs mal
>  
> [mm]f{x}=e^x[/mm]
>  
> [mm]f'{x}=e^x[/mm]
>  
>
> [mm]f^{-1}{(x)}=ln(x)[/mm]
>  
> [mm](f^{-1})'{(x)}=\bruch{1}{f'(f^{-1}{(x))}}=\bruch{1}{e^x*ln(x)}[/mm]

Wie kommst du denn da drauf?  

[mm](f^{-1})'{(x)}=1/x[/mm]

> soweit so gut (hoffe ich)

leider vergebens!

> aber noch mal zu meiner Frage wie bestimme ich die
> Umkehrfunkktion von
>  
> [mm]f{x}=e^x+x[/mm]  ?
>  
> ich soll die nämlich skizzieren.
>  
> tausche ich in der Wertetabelle einfach f{x} gegen x aus
> und zeichne die?

Ja! oder du zeichnest die Fkt und spiegelst an der 1, Winkelhalbierenden.
Gruss leduart  

Bezug
                                
Bezug
Umkehrfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:31 Fr 01.09.2006
Autor: hooover

Hallo leduart,

ich hab die Formel aus der uni

[mm](f^{-1})'{(x)}=\bruch{1}{f'(f^{-1}{(x))}}=\bruch{1}{e^x*ln(x)}[/mm]

>  Wie kommst du denn da drauf?  
>

mit dem Vermerk

Wenn f' keine Nullstelle hat, dann ist [mm] f^{-1} [/mm] diff´bar mit

[mm] (f^{-1})'{(x)}=\bruch{1}{f'(f^{-1}{(x))}} [/mm]

naja und [mm] e^x [/mm] hat ja keine Nullstelle, also hab ich das halt angewendet.

schade das es nicht stimmt.



Bezug
                                        
Bezug
Umkehrfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Fr 01.09.2006
Autor: leduart

Hallo hoover
Dass (lnx)'=1/x ist weisst du aber! Also hast du die richtige Formel falsch angewandt.
[mm] f=e^{x}; f'=f=e^{x}; f'(f^{-1})=f(f^{-1})=x [/mm] nach Definition von [mm] f^{-1}! [/mm]
Wieso kommst du auf [mm] x*e^{x}? [/mm]
Damit du damit umgehen lernst: [mm] \wurzel{x} [/mm] ist Umkehrfkt von [mm] x^{2}! [/mm]
Bestimme die Ableitung von [mm] \wurzel{x} [/mm] mit dem Gesetz über Ableitung von Umkehrfkt. Überprüfe dein ergebnis, da du ja weisst, was rauskommen muss!
Gruss leduart

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