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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Umkehrfunktion von derjenigen Funktion [0,1] [mm] \to [/mm] [0, [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ] die in folgender Weise festgelegt ist f(x) = [mm] \bruch{x}{1+x²} [/mm] |
Vorweg ein paar Fragen:
- Somit ist [0,1] der Definitionsbereich und [0, [mm] \bruch{1}{2}] [/mm] der Wertebereich oder?
- bei einer Umkehrfunktion muss man x und y miteinander vertauschen und dann wieder nach y umformen, richtig?
Dann stünde da:
f(x) = y = [mm] \bruch{x}{1+x²} [/mm]
x= [mm] \bruch{y}{1+y²} [/mm]
<=> x+ xy² = y
<=> xy²-y+x = 0 (-> quadr. Gleichung)
Bis hierhin ist alles klar. Nun hab ich in meiner Lösung stehen: durch x dividieren. (x ungleich 0)....ich hätte x ausgeklammert. Wäre das falsch gewesen?
Nun gut: Mit der p/q Formel kommt raus:
y = [mm] \bruch{1}{2x} [/mm] +- [mm] \wurzel{ \bruch{1}{4x²}-1}
[/mm]
Jetzt hat mein Tutor x= [mm] \bruch{1}{4} [/mm] gesetzt. (etwas > 1 rausbekommen)
Und dann x=0 und in die Gleichung xy²-y+x = 0 eingesetzt.
Hat er einfach den Wertebereich quadriert oder wieso kommt er auf [mm] \bruch{1}{4}?
[/mm]
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Und: Wie kann man zeigen, dass ein beliebiges f(x) (Bsp: f(x)= [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] mit R^+ [mm] \to [/mm] [0,1] ) eine Umkehrfunktion besitzt?
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 So 17.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie die Umkehrfunktion von derjenigen Funktion
> [0,1] [mm]\to[/mm] [0, [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ] die in folgender Weise
> festgelegt ist f(x) = [mm]\bruch{x}{1+x²}[/mm]
> Vorweg ein paar Fragen:
> - Somit ist [0,1] der Definitionsbereich und [0,
> [mm]\bruch{1}{2}][/mm] der Wertebereich oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> - bei einer Umkehrfunktion muss man x und y miteinander
> vertauschen und dann wieder nach y umformen, richtig?
> Dann stünde da:
>
> f(x) = y = [mm]\bruch{x}{1+x²}[/mm]
>
> x= [mm]\bruch{y}{1+y²}[/mm]
>
> <=> x+ xy² = y
> <=> xy²-y+x = 0 (-> quadr. Gleichung)
>
> Bis hierhin ist alles klar. Nun hab ich in meiner Lösung
> stehen: durch x dividieren. (x ungleich 0)....ich hätte x
> ausgeklammert. Wäre das falsch gewesen?
Nein, das wäre besser gewesen. Da x zum Db und zum WB gehört, muss ja auch bei der Umkehrung für x die entsprechende Zuordnung gefunden werden. So muss mann jetzt den eben ausgeschlossenen Fall x=0 eigentlich noch separat betrachten.
>
> Nun gut: Mit der p/q Formel kommt raus:
>
> y = [mm]\bruch{1}{2x}[/mm] +- [mm]\wurzel{ \bruch{1}{4x²}-1}[/mm]
>
> Jetzt hat mein Tutor x= [mm]\bruch{1}{4}[/mm] gesetzt. (etwas > 1
> rausbekommen)
> Und dann x=0 und in die Gleichung xy²-y+x = 0 eingesetzt.
Ach, das ist die nachträgliche Betrachtung des Falles x=0.
>
> Hat er einfach den Wertebereich quadriert oder wieso kommt
> er auf [mm]\bruch{1}{4}?[/mm]
Der neue Definitionsbereich muss doch der alte Wertebereich sein (und der alte Definitionsbereich der neue Wertebereich. Er hat das wohl so gewählt, dass das passt.
>
> ----------------------------------------
> Und: Wie kann man zeigen, dass ein beliebiges f(x) (Bsp:
> f(x)= [mm]\bruch{x}{1+x}[/mm] mit R^+ [mm]\to[/mm] [0,1] ) eine
> Umkehrfunktion besitzt?
Grafisch entspricht doch das Bilden der Umkehrfunktion einer Spiegelung der Graphen an der Geraden y=x. Das derartige Umkehren ist natürlich nur zugelassen, wenn der gespiegelte Graph wieder jedem x nur ein y zuordnet. Du kannst z.B. nicht für die komplette Funktion [mm] y=x^2 [/mm] eine Umkehrfunktion bilden, sondern jeweils nur getrennt für den monoton wachsenden bzw. den monoton fallenden Ast der Parabel.
Viele Grüße
Abakus
>
> Danke im Voraus!
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>>>>Grafisch entspricht doch das Bilden der Umkehrfunktion einer Spiegelung der Graphen an der Geraden y=x. Das derartige Umkehren ist natürlich nur zugelassen, wenn der gespiegelte Graph wieder jedem x nur ein y zuordnet. Du kannst z.B. nicht für die komplette Funktion $ [mm] y=x^2 [/mm] $ eine Umkehrfunktion bilden, sondern jeweils nur getrennt für den monoton wachsenden bzw. den monoton fallenden Ast der Parabel. <<<<<
Und wie kann man das zeigen, ohne es grafisch aufzuzeichnen? Einfach wie ich o.g. x und y vertauschen? Wann weiß man, dass f eine Umkehrfunktion besitzt?
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Beispiel: Ich habe die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] und soll davon die Umkehrfkt bestimmen.
Ich weiß nicht, ob ich das richtig mache:
Wie gesagt gleich am Anfang x mit y vertauschen.
[mm] x=\bruch{y}{1+y}
[/mm]
Dann nach y auflösen
y= x*(1+y)
= x+xy
= x*(1+y)
nun nach x
x= [mm] \bruch{y}{1+y}
[/mm]
=> f^-1(x)= [mm] \bruch{x}{1+x}
[/mm]
Wieso hat mein Tutor [mm] \bruch{x}{1-x} [/mm] heraus? :(
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Hallo ElDennito,
> Wie gesagt gleich am Anfang x mit y vertauschen.
> [mm]x=\bruch{y}{1+y}[/mm]
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> Dann nach y auflösen
> y= x*(1+y)
> = x+xy
> = x*(1+y)
>
> nun nach x
>
> x= [mm]\bruch{y}{1+y}[/mm]
>
> => f^-1(x)= [mm]\bruch{x}{1+x}[/mm]
>
> Wieso hat mein Tutor [mm]\bruch{x}{1-x}[/mm] heraus? :(
Der Ansatz den Du machst ist schon richtig. Nur das auflösen klappt noch nicht so richtig.
[mm]y \ = \ x * \left( 1 + y \right)[/mm]
[mm]\gdw \ y \ = \ x \ + \ x*y[/mm]
Nun alles mit y auf eine Seite:
[mm]\gdw \ y \ - \ x*y= \ x [/mm]
[mm]\gdw \ y \left (1-x \right) = \ x[/mm]
[mm]\Rightarrow \ y \ = \ \bruch{x}{1-x}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | | Berechnen Sie die Umkehrfunktion von der jenigen Fkt [0,1] [mm] \to [/mm] [0, 1/2] , die in folgender Weise festgelegt ist f(x) = [mm] \bruch{x}{1+x²}. [/mm] |
Ich habe heute versucht, die Aufgabe erneut zu rechnen mit dem Schema wie bei der anderen Aufgabe, die ich in einem Post oben genannt habe.
Ich hab jetzt x und y vertauscht, also:
x= [mm] \bruch{y}{1+y²} [/mm]
x* (1+y²) = y
x+xy² = y
x = y- xy²
x= -xy² + y
x = y (-xy+1)
y= [mm] \bruch{x}{-xy+1}
[/mm]
Wie gesagt: Mit dem selben Prozedere wie oben, aber was mache ich hier falsch?
Danke im Voraus!
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> x= [mm]\bruch{y}{1+y²}[/mm]
>
> x* (1+y²) = y
>
> x+xy² = y
>
> x = y- xy²
> x= -xy² + y
Hallo,
Dein Ziel ist es ja, am Ende das y allein stehen zu haben, man muß es also irgendwie (...) vom x getrennt bekommen.
Hier kannst Du für [mm] x\not=0 [/mm] folgendes tun:
Dividiere durch -x, Du erhältst
[mm] y^2- \bruch{1}{x}y= [/mm] -1
Nun die quadratische Ergänzung [mm] +(\bruch{1}{2x})^2:
[/mm]
[mm] y^2- \bruch{1}{x}y +(\bruch{1}{2x})^2 [/mm] = [mm] -1+(\bruch{1}{2x})^2
[/mm]
Und nun weiter.
Gruß v. Angela
> x = y (-xy+1)
>
> y= [mm]\bruch{x}{-xy+1}[/mm]
>
> Wie gesagt: Mit dem selben Prozedere wie oben, aber was
> mache ich hier falsch?
>
> Danke im Voraus!
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Ok, aber geht das nicht auch ohne quadratische Ergänzung, und zwar mit der PQ-Formel. Die liegt mir wesentlich mehr.
Dann steht da:
y² - [mm] \bruch{1}{x}y [/mm] + 1 = 0
[mm] y_1_2= \bruch{1}{2x} [/mm] +- [mm] \wurzel{\bruch{1}{4x²}-1}
[/mm]
Was mach ich jetzt mit dem x?
Ohne x kann ich ja keine Werte für y herausbekommen.
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> Ok, aber geht das nicht auch ohne quadratische Ergänzung,
> und zwar mit der PQ-Formel. Die liegt mir wesentlich mehr.
Hallo,
dann nimm halt die pq-Formel. Jeder bedient sich dessen, was er kann.
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> Dann steht da:
>
> y² - [mm]\bruch{1}{x}y[/mm] + 1 = 0
>
> [mm]y_1_2= \bruch{1}{2x}[/mm] +- [mm]\wurzel{\bruch{1}{4x²}-1}[/mm]
>
> Was mach ich jetzt mit dem x?
Da solltest Du noch eine Frage vorweg stellen: Du hast ja jetzt [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] ausgerechnet.
Welches ist denn jetzt das richtige y? Wie lautet die Umkehrfunktion?
(Eine andere Sache, über die es sich lohnt, ganz im Stillen und für sich nachzudenken: steht unter der Wurzel nichts Negatives?)
> Ohne x kann ich ja keine Werte für y herausbekommen.
Hier sehe ich das Problem nicht. Du hast doch ein x.
Kannst Du etwas genauer erklären, wo Dein Problem liegt?
Gruß v. Angela
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Kann es sein, dass das schon die Umkehrfunktion ist? Fällt mir gerade so auf.
Ich hab halt versucht noch einen Wert für x zu finden, damit ich die pq Formel anwenden kann und somit zwei Werte für y zu bekommen.
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> Kann es sein, dass das schon die Umkehrfunktion ist? Fällt
> mir gerade so auf.
Ja, so ist es - Du mußt Dich jetzt nur noch entscheiden, welche von beiden es ist.
Hierfür lohnt es sich, Definitions- und Wertebereiche zu studieren.
Gruß v. Angela
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Der Definitionsbereich liegt bei [0,1] und der Wertebereich bei [mm] [0,\bruch{1}{2}]
[/mm]
Ehrlich gesagt, sagt mir das jetzt nicht viel. Ich würde auf die Fkt mit dem + "tippen".
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Mi 20.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast einmal y=0 für x =0 extra berechnet. für x>0 hast du jetzt wegen des [mm] \pm\wurzel{} [/mm] 2 Funktionen.
Für die Umkehrfkt ist das Def, Bereich[0,1/2] und der Wertevorrat [0,1] also umgekehrt wie bei der fkt.
jetzt musst du sehen ob das für + oder - der Wurzel gilt! Dazu kannst du irgendeinen Wert für x aus [0,1/2]nehmen z. bsp wie dein Tutor 1/4 nue nicht grad den Randpunkt 1/2 weil da ja die Wurzel 0 ist.
Zu der anderen Frage: eine Funktion ist umkehrbar auf einem Intervall, wo sie monoton ist. also mus [mm] f`(x)\le0 [/mm] oder [mm] f'(x)\ge0 [/mm] auf dem ganzen Intervall sein, auf dem du die Umkehrfkt suchst. f' von deiner fkt ist zwischen 0 und 1 monoton, zw. 0 und 2 nicht mehr (sie hat bei x=1 ein maximum.
Gruss leduart
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Hallo ElDennito!
Zusätzlich zu Angela's Tipps / Hinweise: bringe den Term unter der Wurzel auf den Hauptnenner und fasse zusammen. Unter Berücksichtigung des Definitionsbereiches für $x_$ kannst Du dann partiell die Wurzel ziehen.
Gruß vom
Roadrunner
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