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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Mi 10.12.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Kann man, wenn x>0 gilt, bei folgender Funktion eine Umkehrfunktion bilden? Und wenn ja, wie?
x²-2x-3=0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mi 10.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Kann man, wenn x>0 gilt, bei folgender Funktion eine
> Umkehrfunktion bilden? Und wenn ja, wie?
>
> x²-2x-3=0
Hallo,
die Funktion y=x²-2x-3 hat ihren Scheitelpunkt bei x=1. Damit nehmen die Funktionswerte von x=0 bis x=1 ab und ab x=1 wieder zu. Wegen der Symmetrie der entstehenden Parabel gilt f0)=f(2), f(0,2)=f(1,8) usw.
Die Funktion lässt sich für x>0 noch nicht umkehren, weil nach der Umkehrung einigen x-Werten zwei y-Werte zugeordnet wären (und dann ist es keine Funktion). Eine solche Umkehrung ist nur in Intervallen möglich, in den sich das Monotonieverhalten nicht ändert (also z.B. für [mm] x\ge [/mm] 1, denn dort ist die Funktion nur noch monoton wachsend).
Regel für das Umkehren:
(1) Vertausche x und y
(2) Stelle wieder nach y um.
Hier also: y=x²-2x-3
(1) x=y²-2y-3
(2) 0=y²-2y-3-x
[mm] y_{1,2}=1\pm \wurzel{1-(-3-x)}
[/mm]
[mm] y_{1,2}=1\pm \wurzel{4+x}
[/mm]
Da ich vorhin [mm] x\ge [/mm] 1 vorausgesetzt hatte, muss nach dem Vertauschen von x und y also [mm] y\ge [/mm] 1 gelten, damit zählt nur die Gleichung [mm] y=1+\wurzel{4+x}.
[/mm]
(Für [mm] x\le [/mm] 1 wäre die Umkehrfunktion entsprechend [mm] y=1-\wurzel{4+x}.)
[/mm]
Gruß Abakus
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