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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 Do 14.05.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | | [mm] f(x)=x^6+x^3 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1. Gebe den Dif.Bereich an in dem die Funkion bijektiv ist.
2. wenn möglich, berechne die Umkehrfunktion.
Der Dif. Bereich scheint [0; [mm] \infty] [/mm] zu sein
Aber wie ist dann die Umkehrfunkion ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Do 14.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f(x)=x^6+x^3[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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> 1. Gebe den Dif.Bereich an in dem die Funkion bijektiv
> ist.
> 2. wenn möglich, berechne die Umkehrfunktion.
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> Der Dif. Bereich scheint [0; [mm]\infty][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zu sein
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> Aber wie ist dann die Umkehrfunkion ?
die Aufgabenstellung ist mehr als schwammig.
1.) Da steht keine Funktion, sondern nur ein Funktionsterm. Eine Funktion ist erst definiert, wenn zudem Definitionsbereich und Zielbereich mitangegeben werden!
2.) Den Definitionsbereich, in dem die Funktion bijektiv ist, gibt es nicht. Ich kann hier viele Funktionen angeben, deren Funktionswert durch $x \mapsto x^6+x^3$ bestimmt wird, und die bijektiv sind. Es macht eigentlich hier noch nichtmal wirklich Sinn, von einem maximalen Definitionsbereich zu sprechen.
Wenn Du Dir die Anmerkungen mal klar machst, erkennst Du, dass der Aufgabensteller hier eigentlich eine sehr unsinnige Aufgabe gestellt hat. Anstatt den Definitionsbereich $[0,\infty)$ (bitte achte darauf, dass Du oben $[0,\infty\red{]}$ durch $[0,\infty)$ ersetzt!) zu wählen, könnte man genausogut $(-\infty,x_m]\,,$ wobei $x_m$ lokale (und globale) Minimalstelle von
$$f: \IR \to \IR,\;\;x \mapsto f(x):=x^6+x^3$$
sei, wählen.
Während Du oben
$$[0,\infty) \to [0,\infty),\;\;x \mapsto x^6+x^3$$
betrachten wolltest, würde ich dann die Funktion
$$(-\infty,x_m] \to \{x^6+x^3:\;x \le x_m\},\;\; x \mapsto x^6+x^3$$
betrachten.
Dabei ist $x_m$ die lokale (und globale) Minimalstelle der Funktion $f\,$ welche Du sicher locker selbst berechnen kannst.
Aber nun zurück:
Betrachtest Du nun
$$g: [0,\infty) \to [0,\infty),\;\;x \mapsto y:=g(x):=x^6+x^3\,,$$
so ist diese Funktion bijektiv. Die Umkehrfunktion ergibt sich dann durch vertauschen von $x\,$ und $y\,$ und auflösen nach $y\,$ (die vertauschten Variablen markiere ich nun farbig):
$$\blue{x}=\blue{y}^6+\blue{y}^3$$
$$\gdw (\underbrace{\blue{y}^3}_{z:=})^2+}\underbrace{\blue{y}^3}_{=z}-\blue{x}=0\,.$$
Mit der pq-Formel folgt also
$$z_{1,2}=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\blue{x}}\,.$$
Weil $g\,$ eine Abbildung mit Zielbereich $[0,\infty)$ ist, kann nur
$$z=-\frac{1}{2} \;\large{\blue{\text{+}}}\;\sqrt{\frac{1}{4}+\blue{x}}$$
sein. Wegen $z=\blue{y}^3$ ist somit
$$g^{-1}:\;[0,\infty) \to [0,\infty),\;\; \blue{x} \mapsto \blue{y}=g^{-1}(\blue{x})=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+\blue{x}}}$$
die gesuchte Umkehrfunktion zu $g\,.$
Gruß,
Marcel
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