Umkehrfunktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Sa 10.07.2010 | | Autor: | pestaiia |
| Aufgabe | Berechne die umkehrfunktion von [mm] f(x)=x+\wurzel{x}.
[/mm]
|
Hallo!
ich habe zuerst die Definitionsmenge und die Wertemenge von f(x) angegeben. [mm] D=\IR+ [/mm] und [mm] W=(0;\infty(. [/mm] Somit ist f bijektiv.
Um die Umkehrfunktion zu berechnen, muss man ja einfach [mm] y=x+\wurzel{x} [/mm] nach x auflösen und dann die Variablen vertauschen.
Mein Problem ist wie kann ich das umformen?
wie mach ich hier weiter:
[mm] x(x+1)=y^2
[/mm]
...
Danke schon mal!
|
|
| |
|
Hallo pestaiia,
> wie mach ich hier weiter:
> [mm]x(x+1)=y^2[/mm]
Wie bist Du denn dahin gekommen? Das kann ich noch nicht nachvollziehen. Ich fange mal anders an.
> Berechne die umkehrfunktion von [mm]f(x)=x+\wurzel{x}.[/mm]
>
> Um die Umkehrfunktion zu berechnen, muss man ja einfach
> [mm]y=x+\wurzel{x}[/mm] nach x auflösen und dann die Variablen
> vertauschen.
Eben.
Setzen wir [mm] u=\wurzel{x}. [/mm] Dann ist [mm] y=u^2+u.
[/mm]
Quadratisch ergänzt (ein Mittelstufentrick): [mm] y+\bruch{1}{4}=u^2+u+\bruch{1}{4}=\left(u+\bruch{1}{2}\right)^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \wurzel{y+\bruch{1}{4}}=u+\bruch{1}{2}
[/mm]
Resubstituiert und umgestellt: [mm] \wurzel{y+\bruch{1}{4}}-\bruch{1}{2}=\wurzel{x}
[/mm]
Also [mm] x=\left(\wurzel{y+\bruch{1}{4}}-\bruch{1}{2}\right)^2=y+\bruch{1}{2}-\wurzel{y+\bruch{1}{4}}
[/mm]
Jetzt müsstest du aber noch mal nachschauen, ob denn alle Rechenschritte uneingeschränkt so gültig waren, oder ob noch Sonderfälle zu untersuchen sind. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Sa 10.07.2010 | | Autor: | pestaiia |
Ja klar, quadratatische ergänzung... da hätte ich auch selbst drauf kommen können.
habs nachgerechnet und komme auf das gleiche ergebnis wie du. die definitionsmenge der unkehrfunktion ist dann (-1/4; [mm] \infty( [/mm]
und die Wertemenge (1/4; [mm] \infty( [/mm] oder?
Gruß
Pestaiia
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
oder?
