Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Berechnen sie für die folgenden Funktionen f die UMkehrfunktion f^-1. Geben sie jeweils den Definitions- und Wertebereich f und f^-1 an.
[mm] a)f(x)=\bruch{e^{x}}{e^{x}+1} [/mm] |
Hallo
Ich hätte mal gern gewusst was denn alles genau in die Lösung dieser Aufgabe gehört...
Ich selber würde halt einfach den Definitionsbereich quasi ablesen und hinschreiben [mm] D=\IR [/mm] . Man kann natürlich auch noch das man es besser sieht das [mm] e^{x} [/mm] rauskürzen...
dann würde ich halt sofort die Umkehrfunktion bilden und da dann den Definitionsbereich ablesen und da man ja weiß das der Definitionsbereich der Umkehrfunktion der Wertebereich der normalen Funktion ist und umgekehrt kann man den ja auch gleich hinschreiben... so hätte ich es beantwortet!
Unsere Übungsleiterin hat da allerdings um eingies mehr gemacht in ihrer Lösung... die macht zwar oft alles umständlich und mehr... aber so weiß ich jetzt nicht genau was alles in die Lösung rein muss...
ich würd die Lösung für euch gerne mal hochladen .. aber das geht hier nicht oder??? hab es ma hier hochgeladen, vlt schaut es sich ja ma einer kurz an... es ist die Lösung der Aufgabe [10.2] a) und b )
https://rapidshare.com/files/458613069/uebung-2011-01-13.pdf
Freue mich auf eure Rückmeldungen
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Berechnen sie für die folgenden Funktionen f die
> UMkehrfunktion f^-1. Geben sie jeweils den Definitions- und
> Wertebereich f und f^-1 an.
>
> [mm]a)f(x)=\bruch{e^{x}}{e^{x}+1}[/mm]
> Hallo
> Ich hätte mal gern gewusst was denn alles genau in die
> Lösung dieser Aufgabe gehört...
>
> Ich selber würde halt einfach den Definitionsbereich quasi
> ablesen und hinschreiben [mm]D=\IR[/mm] . Man kann natürlich auch
> noch das man es besser sieht das [mm]e^{x}[/mm] rauskürzen...
[mm] D=\IR [/mm] ist korrekt, aber der [mm] e^{x} [/mm] kannst du nicht "einfach so" herauskürzen.
Der Nenner wird niemals Null (zu zeigen!), also ist [mm] D=\IR
[/mm]
> dann würde ich halt sofort die Umkehrfunktion bilden und
> da dann den Definitionsbereich ablesen und da man ja weiß
> das der Definitionsbereich der Umkehrfunktion der
> Wertebereich der normalen Funktion ist und umgekehrt kann
> man den ja auch gleich hinschreiben... so hätte ich es
> beantwortet!
Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, gibt es eigentlich nur einen Weg
>
> Unsere Übungsleiterin hat da allerdings um eingies mehr
> gemacht in ihrer Lösung... die macht zwar oft alles
> umständlich und mehr... aber so weiß ich jetzt nicht
> genau was alles in die Lösung rein muss...
Im Zweifel, das was eure Dozentin vorgibt.
>
> ich würd die Lösung für euch gerne mal hochladen .. aber
> das geht hier nicht oder??? hab es ma hier hochgeladen, vlt
> schaut es sich ja ma einer kurz an... es ist die Lösung
> der Aufgabe [10.2] a) und b )
>
> https://rapidshare.com/files/458613069/uebung-2011-01-13.pdf
Das klappt leider bei mir nicht. Ich kann die Datei nicht herunterladen.
>
> Freue mich auf eure Rückmeldungen
>
> Gruß
Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, gehe wie folgt vor:
Löse die Gleichung
[mm] y=\frac{e^{x}}{e^{x}+1} [/mm] nach x auf, und vertausche dann die Variablen.
Dazu mal folgender Anfang:
[mm] y=\frac{e^{x}}{e^{x}+1} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow y(e^{x}+1)=e^{x} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow e^{x}+1=\frac{e^{x}}{y} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{e^{x}+1}{e^{x}}=\frac{1}{y} [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \frac{e^{x}}{e^{x}}+\frac{1}{e^{x}}=\frac{1}{y} [/mm]
Den Rest schaffst du jetzt sicherlich selber.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke Rex!
so ich probier jetzt mal hier die Lösung hochzuladen, wär nett wenn sich jemand mal die Lösung anschauen könnte... weil die ganzen Sachen z.b. mit der Stetigkeit würde ich bei dieser aufgabe eigentlich nicht hinschreiben...
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Danke Rex!
>
> so ich probier jetzt mal hier die Lösung hochzuladen, wär
> nett wenn sich jemand mal die Lösung anschauen könnte...
> weil die ganzen Sachen z.b. mit der Stetigkeit würde ich
> bei dieser aufgabe eigentlich nicht hinschreiben...
>
>
> Gruß
Diese Dinge sind schon wichtig, denn wen die Funktion nicht stetig und auf D monoton ist, gibt es keine  Umkehrfunktion.
Erst, wenn ich das abgeklopft habe, kann ich sicher sein, dass es eine Umkehrfunktion gibt. (auch wenn ich unter Umständen siese nicht explizit angeben kann).
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Roffel |
thx again Marius :)
also nehmen wir mal an ich zeig dann das f monoton (wachsend/fallend) und stetig ist, dann hat sie auf jedenfall eine Umkehrfunktion oder? wie zeig ich das am einfachsten...und ist stetig und die Monotonie auch gleichzusetzen mit bijektivität?
Monotonie:
kann bzw. ist es geschickt f einmal abzuleiten und zu zeigen das f'(x) > 0 ( streng monoton wachsend) und f'(x) < 0 ( streng monoton fallend)
also könnt ich das so machen oder gibt es da eine geschicktere Methode??
ich kenn das noch mit f(x+1)-f(x) <>0 ...
die Ableitung sieht bei mir dann so aus:
f'(x)= [mm] \bruch{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}} [/mm] aber wie zeig ich da jetzt das es kleiner oder größer 0 ist?? hm
mit der stetigkeit hab ich auch noch so meine probleme, mit den Definitionen von stetigkeit komme ich bisher nicht weiter... welches verfahren ist für die Stetigkeit einfach bzw. geschickt???
Gruß
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Hallo Roffel,
> thx again Marius :)
>
> also nehmen wir mal an ich zeig dann das f monoton
> (wachsend/fallend) und stetig ist, dann hat sie auf
> jedenfall eine Umkehrfunktion oder? wie zeig ich das am
Ja.
> einfachsten...und ist stetig und die Monotonie auch
> gleichzusetzen mit bijektivität?
Wenn mit Monotonie "monoton fallend" oder "monoton steigend"
gemeint ist, dann ist sie in diesem Bereich auch bijektiv.
>
> Monotonie:
> kann bzw. ist es geschickt f einmal abzuleiten und zu
> zeigen das f'(x) > 0 ( streng monoton wachsend) und f'(x) <
> 0 ( streng monoton fallend)
> also könnt ich das so machen oder gibt es da eine
Das kannst Du so machen.
> geschicktere Methode??
> ich kenn das noch mit f(x+1)-f(x) <>0 ...
>
> die Ableitung sieht bei mir dann so aus:
> f'(x)= [mm]\bruch{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}[/mm] aber wie zeig ich da
> jetzt das es kleiner oder größer 0 ist?? hm
Nun, die Ableitung kann nie kleiner 0 werden.
>
> mit der stetigkeit hab ich auch noch so meine probleme, mit
> den Definitionen von stetigkeit komme ich bisher nicht
> weiter... welches verfahren ist für die Stetigkeit einfach
> bzw. geschickt???
Hier kannst Du argumentieren, daß die Exponentialfunktion
auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist. Da f ein Quotient stetiger
Funktionen ist, und der Quotient stetiger Funktionen wiederum
stetig ist, ist f auf seinem Definitionsbereich ebenfalls stetig.
>
> Gruß
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Fr 22.04.2011 | | Autor: | Roffel |
Danke für die schnelle Antwort MathePower.
nochmal zur Stetigkeit:
d.h. ich sollte halt von paar standart funktionen wissen ob sie generell stetig sind oder nicht... und dann halt weiter argumentieren ??? hab da noch so meine Schwierigkeiten...gibt da kein allgemeines Schema wie man jedes mal vorgehen könnte? oder was sind denn die wichtigen Standartfunktionen bei denen man es einfach wissen sollte ob sie stetig sind oder nicht??
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 22.04.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke für die schnelle Antwort MathePower.
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> nochmal zur Stetigkeit:
> d.h. ich sollte halt von paar standart funktionen wissen ob
> sie generell stetig sind oder nicht... und dann halt weiter
> argumentieren ??? hab da noch so meine
> Schwierigkeiten...gibt da kein allgemeines Schema wie man
> jedes mal vorgehen könnte? oder was sind denn die
> wichtigen Standartfunktionen bei denen man es einfach
> wissen sollte ob sie stetig sind oder nicht??
Nun, fast alle Funktionen, die keine Einschränkungen im Definitionsbereich haben, sind stetig. Unstetigkeit kann ja nur an Stellen entstehen, an denen die Funktion "unsaubere Stellen" hat, das können Polstellen, die Nullstellen von Wurzeln/Beträgen, die "Definitionsbrechenden Stellen" einer stückweise definierten Funktion, etc sein.
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> Gruß
Marius
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