Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 03.01.2012 | | Autor: | Gerad |
Hallo,
ich kann die Umkehrfunktion einer gegeben Funktion dann umkehren, wenn sie bijektiv (bzw. injektiv) z.b. wenn diese monton fallend oder steigend ist umkehren...
wenn ich nun eine surjektive Funktion habe z.b. f(x)=sin(x) Df= R
dann kann ich sie definitiv nicht umkehren da ich quasi für ein y-Wert mehrere x.Werte erhalten kann so richtig?! deshalb Grenze ich ja sin(x) ein z.b. -pi/2 bis pi/2 dadurch ist sie injektiv bzw. bijektiv und die umkehrfunktion ist der arcsin....
ich hab in einem anderen Forum gelesen dass wenn man aus einer surjektivenfunktion die umkehrfunktion bildet diese injektiv wird ?!?! und das versteh ich nicht... dachte das geht nicht oder war es mist was da stand....
vielen dank
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> Hallo,
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> ich kann die Umkehrfunktion einer gegeben Funktion dann
> umkehren, wenn sie bijektiv (bzw. injektiv) z.b. wenn diese
> monton fallend oder steigend ist umkehren...
Hallo,
eine Funktion [mm] f:A\to [/mm] B kannst Du umkehren, wenn f bijektiv, also injektiv und surjektiv ist.
Dann gibt es eine Umkehrfunktion [mm] g:B\to [/mm] A, welche ebenfalls bijektiv ist, und für welche [mm] g\circ f=id_A [/mm] und [mm] f\circ g=id_B [/mm] gilt.
Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die Funktion selbst.
>
> wenn ich nun eine surjektive Funktion habe z.b. f(x)=sin(x)
> Df= R
Über Injektivität und Surjektivität zu sprechen, ist nur sinnvoll, wenn man weiß, was der Definitions- und der Wertebereich sein sollen.
[mm] sin:\IR\to \IR [/mm] ist nicht surjektiv und nicht injektiv,
hingegen ist [mm] sin:\IR\to [/mm] [-1,1] surjektiv nicht injektiv.
[mm] sin:\IR\to [/mm] [-1,1] ist nicht injektiv, aber surjektiv, hingegegen ist
[mm] sin:[-\pi/2,\pi/2]\to [/mm] [-1,1] injektiv und surjektiv,
und
[mm] sin:[-\pi/2,\pi/2]\to\IR [/mm] ist injektiv, aber nicht surjektiv.
> dann kann ich sie definitiv nicht umkehren da ich quasi
> für ein y-Wert mehrere x.Werte erhalten kann so richtig?!
Wenn die Funktion nicht injektiv ist, kannst Du sie nicht umkehren.
Es gibt dann ein y des Wertebereiches, welches zwei verschiedene Urbilder hat. Nicht quasi, sondern wirklich, ganz in echt.
> deshalb Grenze ich ja sin(x) ein z.b. -pi/2 bis pi/2
> dadurch ist sie injektiv bzw. bijektiv und die
> umkehrfunktion ist der arcsin....
Damit sie bijektiv ist, mußt Du auch den Wertebereich eingrenzen.
Der Definitionsbereich von arcsin ist dann [-1,1].
arcsin ist nicht auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert.
>
> ich hab in einem anderen Forum gelesen dass wenn man aus
> einer surjektivenfunktion die umkehrfunktion bildet diese
> injektiv wird ?!?!
Du kannst eine surjektive Funktion nur umkehren, wenn sie injektiv ist, und die Umkehrung ist dann auch injektiv und surjektiv.
> und das versteh ich nicht... dachte das
> geht nicht oder war es mist was da stand....
Um zu wissen, ob Du Müll gelesen hast, müßten wir genau wissen, was dort stand.
Vielleicht gin es in etwa um das, was ich oben getan habe: ich habe den Definitions- und Wertebereich der Sinusfunktion so beschnitten, daß sie auf diesen Bereichen betrachtet injektiv und surjektiv wird.
Man kann jede Funktion zu einer surjektiven machen, indem man den Wertebreich auf das Bild der Funktion beschränkt.
Wenn eine Funktion f für alle [mm] x\in [/mm] A definiert ist, dann ist zwangsläufig [mm] f:A\to [/mm] f(A) eine surjektive Funktion.
Ich hoffe, daß ich mit meiner Antwort Deine Fragen getroffen habe.
LG Angela
>
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> vielen dank
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Gerad |
Danke für dir Antwort =)
hab jetzt abe rnoch ne kleine Frage wenn ich sin(x) betrachte mit dem D: -pi/2,pi/2 warum muss ich dann auch den Wertebreich eingrenzen, weil selbst wenn ich sin(x) mit D= R beobachtet habe ich nie einen größernen wertebreich von -1 bis 1 also kann ich doch oben den Wertebereuch R nehmen ... kann doch nix schief gehn =///
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei f(x):=sin(x) für x [mm] \in [/mm] D:=[- [mm] \pi/2, \pi/2]
[/mm]
Dann ist f injektiv auf D.
Die Frage nach der Surjektivität ist nur sinnvoll, wenn die Zielmenge gegeben ist.
f:D [mm] \to \IR [/mm] ist nicht surjetiv.
f:D [mm] \to [/mm] [-1,1] ist surjetiv.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Gerad |
sorry aber muss nochmal nachhaken will es verstehn =/
Also meine allg. Def. von surjektiv die ich mir gemerkt habe ist: Jedes Element der Zielmenge hat MINDESTENS ein Funktionswert.
bei sin(x) x [mm] \varepsilon [/mm] D: = [mm] [-\pi/2; \pi/2] [/mm] und y [mm] \varepsilon [/mm] W= R
warum soll es dort sinnvoll sein den Wertebereich einzuschränken da die Def. lautet mindestens und das ist auch im Wertebereich R gegeben =/
und...
warum ist sin(x) mit D und W = R nicht surjektiv ich hab hier mindestens ein y das ich einem x zu ordnen kann...
die y-Werte wiederholen sich klar weil sin(x) periodisch ist aber y kann jedes mal einem anderen x zugeordnet werden z.B.
sin(x) bei pi/2 =1 (180°)
sin(x) bei 2,5pi =1 (450°)... da es mindestens heißt hat y=1 unendliche viele x-Werte aber ist doch dann surjektiv
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Gibt es zu y=4711 ein x mit sin(x)=y ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Gerad |
ne da dieser wert bei sin (x) nie vor kommen wird und genau deshalb brauch ich es doch nicht ein zuschränken weil den wert y=3434 wird es bedingt durch die periodische funktion von sinus nie geben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> ne da dieser wert bei sin (x) nie vor kommen wird
Eben... Und deshalb ist f:D [mm] \to \IR [/mm] , f(x)=sin(x) auch nicht surjektiv.
FRED
> und genau
> deshalb brauch ich es doch nicht ein zuschränken weil den
> wert y=3434 wird es bedingt durch die periodische funktion
> von sinus nie geben
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