Umkehrfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 08.11.2012 | | Autor: | WSparrow |
| Aufgabe | Man bestimme die Umkehrfunktion.
[mm] f(x)=\wurzel{x-1}-\wurzel{x+1} [/mm] |
Hallo an alle,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich mache gerade ein Matheübungsblatt für die Uni und bin jetzt schon seit längerer Zeit an dieser Aufgabe. Eigentlich weiß ich, wie man eine Umkehrfunktion bestimmt. Man löst nach x auf und tauscht dann die Variablen aus. Dank Geogebra weiß ich auch, wie die Funktion aussieht und kann meine Ergebnisse prüfen, jedoch sind sie immer falsch.
Mein Lösungsansatz
[mm] y=\wurzel{x-1}-\wurzel{x+1} [/mm] /²
y²=x+1+x+1 /zusammenfassen
y²=2x+2 /-2
y²-2=2x //2
[mm] \bruch{y^2}{2}-1=x
[/mm]
[mm] y=\bruch{x^2}{2}-1
[/mm]
So jetzt hab ich mir die Funktion zeichnen lassen und sie entspricht nicht der Umkehrfunktion. Ich weiß echt nicht, was ich falsch mache. Zugegeben sind Wurzeln nicht so meine Stärke. Ich hoffe, hier kann mir jemand helfen.
Liebe Grüße WSparrow ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Do 08.11.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo WSparrow,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Dein Fehler liegt gleich in der zweiten Zeile. Denn beim Quadrieren der Gleichung ignorierst Du auf der rechten Seine völlig die beliebten und (hoffentlich) allseits bekannten binomischen Formeln.
Denn es gilt (hoffentlich bekanntermaßen): [mm](a\pm b)^2 \ \red{\not=} \ a^2 \pm b^2[/mm]
Es gilt vielmehr: [mm](a \pm b)^2 \ = \ a^2 \ \pm \ 2*a*b+b^2[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 08.11.2012 | | Autor: | WSparrow |
Oh mein Gott, das habe ich garnicht bedacht.
Wenn ich richtig rechne ergibt sich daraus doch:
[mm] (\wurzel{x}^2-2*\wurzel{x}+\wurzel{-1}^2)-(\wurzel{x}^2+2*\wurzel{x}+\wurzel{1}^2)
[/mm]
wenn ich das nun auflöse heben sich bei mir aber die x, die man ja aus [mm] \wurzel{x}^2 [/mm] erhält auf und man hat wiederum keine richtige Lösung, weil dann ja nur die [mm] \wurzel{x} [/mm] Einfluss haben. Oder mache ich wieder einen Rechenfehler? Ich kenne die binomischen Formeln und hab mich geärgert, dass ich nicht selbst drauf gekommen bin ;) aber jetzt happert es irgendwie am ausmultiplizieren. Ich vermute nen einfach Vorzeichenfehler...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Do 08.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Jetzt hast du zuviel der binomischen Formeln:
$ [mm] y=\wurzel{x-1}-\wurzel{x+1} [/mm] $
Quadrieren
$ [mm] y^{2}=(\wurzel{x-1})^{2}-2\cdot\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x+1}+(\wurzel{x+1})^{2} [/mm] $
Zusammenfassen
$ [mm] y^{2}=x-1-2\cdot\sqrt{(x-1)(x+1)}+x+1 [/mm] $
Nochmal zusammenfassen
$ [mm] y^{2}=2x-2\cdot\sqrt{x^{2}-1} [/mm] $
Wurzel isolieren
$ [mm] -\frac{y^{2}-2x}{2}=\sqrt{x^{2}-1} [/mm] $
Nun quadriere nocheinmal, dann bist du die Wurzel los.
Marius
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