Umkehrfunktion + rot. Dreieck < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | ft(x)= ln(x²+t)
x Element R
t > 0
a)
Zeigen Sie, dass [mm] f't(y)=(e^y)/2*Wurzel(e^y-t) [/mm] die Ableitung derUmkehrfunktion von ft(x) ist, ohnedie Umkehrfunktion direktabzuleiten.
b)
Für 0<t<0,5 sind die Punkte A(Wurzel(t)|ln(2t)), B(-Wurzel(t)|ln(2t)) und O(0|0) Ecktpunkteeines Dreiecks, das um die Y-Achserotiert. Für welches t wird der Raum-inhalt des entsprechenden Kegels am größten? Geben Sie den größt-möglichen Raum-inhalt des Kegels an. |
Hallo,
zu a)
ich kenne die Formel f'(y)=1/(f'(x))
aber ich würde dann auch erst die Umkehrfunktion bilden und dann erhalte ich 2 Ergebnisse... Kann mir das jemand erklären? Ich glaub mit der Formel muss ich arbeiten.
zu b)
Die Volumenformel eines Kegels ist: V=(1/3)*Pi*r²*h
überlegt hab ich mir:
r= |Wurzel(t)| = |-Wurzel(t)|
h= f(Wurzel(t)) = f(-Wurzel(t)) = ln(2t)
somit ergibt sich: V(t)=(1/3)*Pi*t*ln(2t)
Ableitungen:
V'(t) = (1/3)*Pi*ln(2t) + (1/3)Pi
V''(t)= (1/3)*(Pi/t)
Für Extrema gilt: V'(t) = 0
also ist:
(1/3)*Pi*ln(2t) = -(1/3)Pi
ln(2t) = -1
2t= 1/e
t= 1/(2e)
V'(t)=0 und V''(t) ungleich 0
V''(1/(2e)) = (1/3)Pi * 2e -> >0 => Min
Ich suche aber ein Maximum ... Gibts andere Möglichkeiten um die Aufgabe zu lösen (Wenn es mit Randextrema geht, wie?), gibt es kein Maximum oder hab ich falsch gerechnet?
Wie ist die Aufgabe zu lösen?
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also:
zu a)
die Ableitung ist ja: f'(x)=(2x)/(x²+t)
und y=ln(x²+t) umgeformt ergibt:
x= [mm] Wurzel(e^y-t) [/mm] oder x= [mm] -Wurzel(e^y-t)
[/mm]
das in f'(x) eingesetzt ergibt:
[mm] (2*Wurzel(e^y-t))/(e^y) [/mm] und [mm] -(2*Wurzel(e^y-t))/(e^y)
[/mm]
das in die Formel f'(y)=1/f'(x) ergibt genau das gefragt aber ich hab ja 2 ergebnisse... das andere ist negativ... wie interpretiere ich nun das andere?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:17 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Do 22.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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