Umkehrfunktion Differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige die Behauptung direkt aus der Definition der Differenzierbarkeit und interpretiere die Aussage graphisch:
Sei f:[a,b]-> [c,d] strikt monoton und stetig. Wenn f an der Stelle x differenzierbar ist, dann ist [mm] f^{-1} [/mm] an der Stelle f(x) differenzierbar. und [mm] (f^{-1})' [/mm] (f(x)) = [mm] \frac{1}{(f'(x))} [/mm] |
Hallo
f ist strikt monoton -> f injektiv
-> f aus bild einschränkt ist f bijektiv -> existiert Umkehrabbildung
Eigenschaft der Umkehrfunktion: [mm] f(f^{-1}(y))=y \forall [/mm] y [mm] \in[c,d]
[/mm]
Differenzieren & Kettenregel
f' [mm] (f^{-1} [/mm] (y)) [mm] (f^{-1})' [/mm] (y) =1
-> [mm] (f^{-1})' [/mm] (y) = [mm] \frac{1}{f'(f^{-1} (y))}
[/mm]
stzte y=f(x) ein
-> [mm] (f^{-1})' [/mm] (f(x)) = [mm] \frac{1}{f'(x)}
[/mm]
Aber die Differenzierbarkeit?
Ich wollte vorher den Mittelwertsatz auf f anwenden, aber f ist nur im Punkt x differenzierbar...
Hat wer dazu einen Rat?
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Ich denk ich habs:
[mm] x_n \in [/mm] ([c,d] ohne [mm] \{f(x)} [/mm] sodass [mm] x_n [/mm] -> f(x)=y für [mm] n->\infty
[/mm]
[mm] f^{-1} (x_n) [/mm] = [mm] \epsilon_n [/mm] dann [mm] \epsilon_n \in [/mm] ([a,b] ohne [mm] \{x\}) [/mm] da f strikt monoton und somit injektiv
Wegen Stetigkeit von [mm] f^{-1} [/mm] gilt [mm] \epsilon_n [/mm] -> x für n-> [mm] \infty
[/mm]
Differenzenquotient:
[mm] \frac{f^{-1} (x_n) - f^{-1} (y)}{x_n - y} [/mm] = [mm] \frac{\epsilon_n - x}{f(\epsilon_n)- f(x)} [/mm] -> 1/f'(x) für n-> [mm] \infty
[/mm]
=> [mm] f^{-1} [/mm] diffbar an y.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:15 Mi 27.02.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo theresetom
> [mm]x_n \in[/mm] ([c,d] ohne [mm]\{f(x)}[/mm] sodass [mm]x_n[/mm] -> f(x)=y für
> [mm]n->\infty[/mm]
> [mm]f^{-1} (x_n)[/mm] = [mm]\epsilon_n[/mm] dann [mm]\epsilon_n \in[/mm] ([a,b] ohne
> [mm]\{x\})[/mm] da f strikt monoton und somit injektiv
> Wegen Stetigkeit von [mm]f^{-1}[/mm] gilt [mm]\epsilon_n[/mm] -> x für
> n-> [mm]\infty[/mm]
Warum ist [mm] $f^{-1}$ [/mm] stetig?
>
> Differenzenquotient:
> [mm]\frac{f^{-1} (x_n) - f^{-1} (y)}{x_n - y}[/mm] =
> [mm]\frac{\epsilon_n - x}{f(\epsilon_n)- f(x)}[/mm] -> 1/f'(x) für
> n-> [mm]\infty[/mm]
Dies kannst Du nur unter der zusätzlichen Voraussetzung [mm] $f'(x)\ne [/mm] 0$ schließen.
> => [mm]f^{-1}[/mm] diffbar an y.
Sonst stimmt's!
Gruß,
Wolfgang
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> Warum ist $ [mm] f^{-1} [/mm] $ stetig?
f ist doch an x stetig und strikt monoton.
also ist [mm] f^{-1} [/mm] an f(x) stetig. (Analysis 1)
Aber genügt dass für die beweisführung?
> Dies kannst Du nur unter der zusätzlichen Voraussetzung $ [mm] f'(x)\ne [/mm] 0 $ schließen.
f ist strikt monoton, also gilt die Vorrausetzung.
LG
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> > Warum ist [mm]f^{-1}[/mm] stetig?
> f ist doch an x stetig und strikt monoton.
> also ist [mm]f^{-1}[/mm] an f(x) stetig. (Analysis 1)
> Aber genügt dass für die beweisführung?
>
>
> > Dies kannst Du nur unter der zusätzlichen Voraussetzung
> [mm]f'(x)\ne 0[/mm] schließen.
> f ist strikt monoton, also gilt die Vorrausetzung.
1.) Das Wort "Voraussetzung" schreibt man mit einem "r" und zwei "s" ... 
2.) Daraus, dass f strikt monoton ist, kann man nicht
schließen, dass im gesamten Definitionsbereich [mm] f'(x)\not=0 [/mm] ist.
Betrachte z.B. die Funktion
$\ [mm] f:\,x\mapsto x^3$ [/mm] an der Stelle x=0
oder
$\ [mm] f:\,x\mapsto [/mm] x-sin(x)$ an den Stellen $\ [mm] x_k\,=\,k*2\,\pi\quad [/mm] mit\ [mm] k\in\IZ$
[/mm]
LG
Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mi 27.02.2013 | | Autor: | Helbig |
> > Warum ist [mm]f^{-1}[/mm] stetig?
> f ist doch an x stetig und strikt monoton.
> also ist [mm]f^{-1}[/mm] an f(x) stetig. (Analysis 1)
> Aber genügt dass für die beweisführung?
Natürlich. Wenn ein passender Satz in Eurer Vorlesung bewiesen wurde.
In Königsberger, Analysis I, wird so ein Satz zwar verwendet, aber weder formuliert und schon gar nicht bewiesen. Jedenfalls ist Satz und Beweis nicht offensichtlich!
>
>
> > Dies kannst Du nur unter der zusätzlichen Voraussetzung
> [mm]f'(x)\ne 0[/mm] schließen.
> f ist strikt monoton, also gilt die Vorrausetzung.
Nein. FRED hatte eine strikt monotone Funktion angegeben, deren Ableitung an einer Stelle verschwindet.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:47 Mi 27.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeige die Behauptung direkt aus der Definition der
> Differenzierbarkeit und interpretiere die Aussage
> graphisch:
> Sei f:[a,b]-> [c,d] strikt monoton und stetig. Wenn f an
> der Stelle x differenzierbar ist, dann ist [mm]f^{-1}[/mm] an der
> Stelle f(x) differenzierbar. und [mm](f^{-1})'[/mm] (f(x)) =
> [mm]\frac{1}{(f'(x))}[/mm]
Diese Aussage ist falsch !
Beispiel: a=0=c, b=1=d , [mm] f(x)=x^2, [/mm] x=0
Richtig wird die Aussage, wenn man noch fordert:f'(x) [mm] \ne [/mm] 0
FRED
>
> Hallo
> f ist strikt monoton -> f injektiv
> -> f aus bild einschränkt ist f bijektiv -> existiert
> Umkehrabbildung
> Eigenschaft der Umkehrfunktion: [mm]f(f^{-1}(y))=y \forall[/mm] y
> [mm]\in[c,d][/mm]
> Differenzieren & Kettenregel
> f' [mm](f^{-1}[/mm] (y)) [mm](f^{-1})'[/mm] (y) =1
> -> [mm](f^{-1})'[/mm] (y) = [mm]\frac{1}{f'(f^{-1} (y))}[/mm]
> stzte y=f(x)
> ein
> -> [mm](f^{-1})'[/mm] (f(x)) = [mm]\frac{1}{f'(x)}[/mm]
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> Aber die Differenzierbarkeit?
> Ich wollte vorher den Mittelwertsatz auf f anwenden, aber
> f ist nur im Punkt x differenzierbar...
> Hat wer dazu einen Rat?
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