Umkehrfunktion der Exp-funktio < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:
Sei f: [mm] \IR \to \IR_{+} [/mm] eine bijektive Funktion mit der Eigenschaft f(x+y)=f(x)*f(y).
Zeigen Sie damit: Dann erfüllt die Umkehrfunktion g: [mm] \IR_{+} \to \IR [/mm] die Funktionalgleichung g(a*b)=g(a)+g(b).
Folgern Sie daraus:
g(1)=0,
[mm] g(a^{p})p*g(a)
[/mm]
Bei f handelt es sich ja um die Exponentialfunktion und bei g um die Umkehrfunktion also die Logarithmusfunktion.
Jetzt ist mir aber nicht klar, wie man das mathematisch zeigen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Mo 26.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich habe eine Frage zur folgender Aufgabe:
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> Sei f: [mm]\IR \to \IR_{+}[/mm] eine bijektive Funktion mit der
> Eigenschaft f(x+y)=f(x)*f(y).
> Zeigen Sie damit: Dann erfüllt die Umkehrfunktion g:
> [mm]\IR_{+} \to \IR[/mm] die Funktionalgleichung g(a*b)=g(a)+g(b).
>
Hallo,
setzte einfach f(x)=a und f(y)=b.
Aus f(x+y)=f(x)*f(y) wird dann
f(x+y)=a*b, und die beidseitige Anwendung der Umkehrfunktion g liefert links
g(f(x+y))=x+y und rechts g(a*b), also gilt
x+y=g(a*b)
Jetzt kannst du deine Substitution rückgängig machen:
Wenn f(x)=a gesetzt wurde, so gilt g(f(x))=x=g(a) und analog
g(f(y))=y=g(b).
Einsetzen in x+y=g(a*b) liefert die Behauptung g(a)+g(b)=g(a*b).
> Folgern Sie daraus:
> g(1)=0,
Hier brauchst du nur a=b=1 zu setzen und bekommst g(1)+g(1)=g(1)
Viele Grüße
Abakus
> [mm]g(a^{p})p*g(a)[/mm]
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> Bei f handelt es sich ja um die Exponentialfunktion und bei
> g um die Umkehrfunktion also die Logarithmusfunktion.
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> Jetzt ist mir aber nicht klar, wie man das mathematisch
> zeigen kann.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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